Quiero demostrar que todo grupo finito $G$ de la orden más de 2 tiene un trivial automorphism. He visto esta pregunta en este sitio infinito grupos, pero las pruebas de uso determinado el hecho de que si $g^2=1$ por cada $g$$G$, $G$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}_2$. Este es un ejercicio de Herstein del texto que aparece antes de la sección en (el teorema fundamental de) finito abelian grupos. Creo que puedo demostrar este resultado con el uso de ese teorema, pero se preguntaba si hay más elemental de las pruebas.
Aquí está mi prueba: Si $G$ es nonabelian, a continuación, $\exists x \in G$ de manera tal que el mapa de $(T_x: g \mapsto x^{-1}gx)$ es un trivial automorphism de $G$. Así que supongamos $G$ es abelian. A continuación, el mapa de $g \mapsto g^{-1}$ es un automorphism de $G$; este automorphism es trivial si algún elemento en $G$ tiene orden de al menos 3. Si cada elemento de a $G$ es de orden 2, entonces por el teorema fundamental sobre finito abelian grupos, $G \cong C_2 \times \cdots \times C_2$ es el producto directo de $k$ copias de $C_2$ algunos $k \ge 2$. Un mapa que intercambia los generadores de las dos primeras copias y corrige el restante $k-2$ copias de los rendimientos de un trivial automorphism de $G$. QED.
