Qué son todas las representaciones del carcaj $Q$ ?

Question

Que un carcaj sea $Q=(Q_0, Q_1, s, t)$ , donde $Q_0$ es $\{1, 2\}$ . El carcaj sólo tiene una flecha: $\alpha: 2 \to 2$ . ¿Qué son todas las representaciones de $Q$ ? Muchas gracias.

En mi pregunta originalel carcaj sólo tiene una flecha de 2 a 2, no de 1 a 2. Pero fue editado. He cambiado la pregunta a la original.

Answer 1

Es de suponer que te refieres a representaciones hasta el isomorfismo, si no la pregunta es casi vacía. Puedes pensar en las representaciones de los dos componentes por separado; las representaciones de un solo vértice sin flechas son simplemente espacios vectoriales hasta el isomorfismo. Para el bucle en un vértice, deberías (si el campo es algebraicamente cerrado) pensar en las formas normales de Jordan; la clasificación de los endomorfismos de los espacios vectoriales es simplemente la clasificación de las matrices cuadradas hasta la similitud (donde $A$ y $B$ son similares si existe un $P$ con $B=P^{-1}AP$ ). (Esto sigue siendo cierto si el campo no es algebraicamente cerrado, pero la clasificación no está dada por la forma normal de Jordan).

Entonces las representaciones del carcaj son sólo sumas directas de representaciones indecomponibles de cada uno de los dos componentes.