¿Por qué divergir $1/x$?

Question

¿Así la fórmula $\dfrac {1}{x}$, si se va a sumar todos los valores de $y$ $x=1$ $x=∞$, no lo suma un número porque aunque siempre está agregando, no es añadir más pequeños y más pequeños los números? ¿No significa esto que se acercó a un cierto número?

Answer 1

Ignorando el 1, si se agrupan juntos el primer término, los dos siguientes términos, a continuación, los próximos cuatro términos, y así sucesivamente, se obtiene:

$$(1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + \cdots$$

que es mayor que

$$(1/2) + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + \cdots$$

donde ahora cada grupo es exactamente igual a 1/2. Esto demuestra que la suma de los primeros a $2^n$ lo que se refiere es al menos $1 + 1/2 \cdot n$, y de forma que la suma de todos los términos es ilimitado.

Si sabes un poco de cálculo, $\int dx/x=\log x$, lo $1+1/2+1/3+\cdots+1/n\ge\int_1^ndx/x=\log n-\log1$.

Ver http://math.stackexchange.com/questions/5035 que trata precisamente lo rápido de la serie diverge.

Answer 2

Como otros lo han explicado, la serie diverge. Pero la divergencia es muy lento, de hecho. Ver a continuación.

Un reciente relacionada idea para un primer año de ejercicio de cálculo:

Un robot inteligente llamado Marvin viajado atrás en el tiempo hasta el momento del Big Bang 13.7 mil millones de años. Él comenzó a calcular las sumas parciales de la serie armónica $$ \frac11+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots $$ Agregó un término a la suma parcial por segundo. Utilizando las estimaciones que conduce a la llamada integral de la prueba de respuesta a la siguiente pregunta: a partir de hoy, se ha Marvin de la suma alcanza el valor de 42?

Answer 3

La lógica falla mucho más obviamente por la serie
$1.1 + 1.01 + 1.001 + 1.0001 + \cdots$

Aunque cada término es menor que la anterior, es claramente divergente (creo que de $1 + 1 + 1 + \cdots$)

Answer 4

Sí que es cierto que los números que están añadiendo cada vez son más pequeñas y más pequeñas. La clave está en que no se consiga pequeño lo suficientemente rápido. Hay muchas pruebas que se pueden encontrar fácilmente en línea (la búsqueda de la prueba de que la serie armónica diverge) que muestran que usted puede agregar suficiente términos de la serie armónica para hacer que su suma tan grande como usted desea. La clave es que la tasa de crecimiento de los (las sumas parciales de la serie armónica es logarítmica. Aunque $\ln(x)$ crece muy lentamente, aún puede hacerse más grande que cualquier valor fijo dado lo suficientemente grande $x$.

Answer 5

Vamos a intentar una serie que diverge más rápidamente. La secuencia $b_n = \sqrt{n}$ claramente crece hasta el infinito, pero poco a poco. La secuencia de

$$a_n = b_{n+1} - b_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$

va a cero. Sin embargo, está claro que diverge la serie $a_1 + a_2 + a_3 + ... $.