¿La traza de un producto de matrices gamma debe depender de la convención que utilice?

Question

Estoy tratando de resolver $$\text{Tr}[\gamma_5\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\alpha\gamma_\beta]$$ utilizando la misma convención que J.J. Sakurai (Mecánica Cuántica Avanzada), lo que obtengo es $$\text{Tr}[\gamma_5\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\alpha\gamma_\beta]=4\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta},$$ lo que se obtiene utilizando la misma convención que Peskin & Schroeder es $$\text{Tr}[\gamma^5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\alpha\gamma^\beta]=-4i\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}.$$ Entiendo la diferencia de signo, pero ¿no debería estar presente la unidad imaginaria también en el primer caso? Lo que quiero decir es: ¿no debería obtener el mismo resultado utilizando cualquiera de estas convenciones?

Answer 1

Tienes razón a medias. El rastro de una combinación de $\gamma$ -no depende de la representación en la que se expresan. Sakurai utiliza principalmente la representación de Dirac-Pauli, mientras que Peskin y Schroeder utilizan la representación quiral de Weyl. Esta diferencia de representación no debería afectar a las trazas de las combinaciones de matrices; las trazas pueden determinarse completamente a partir de la dimensión de las matrices de Dirac y sus anticomutadores.

La razón de la diferencia entre las expresiones es que Sakurai realmente toma las matrices de Dirac como una representación de un álgebra de Clifford diferente al álgebra utilizada en Peskin y Schoeder. Sakurai utiliza una convención anticuada, en la que $\{\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}\}=2\delta_{\mu\nu}$ . La convención utilizada en Peskin y Schoeder (y, como creo que señalan en su prefacio, en todos los textos modernos de teoría de campos; Sakurai, por su parte, describe esta convención como "deplorable") tiene $\{\gamma_{\mu},\gamma_{\nu}\}=2g_{\mu\nu}$ . La convención de Sakurai tiene sus ventajas; hace que todos los $\gamma$ -matrices hermitianas. Sin embargo, como se trata de la no covariante $\delta_{\mu\nu}$ en lugar de $g_{\mu\nu}$ Pero es mucho más difícil trabajar con él en problemas totalmente relativistas (que no son el objetivo principal del libro de Sakurai, así que no es un problema demasiado grande). El formalismo más moderno es totalmente covariante, por lo que se prefiere, pero a costa de hacer que el $\gamma$ -matrices skew-hermitianas.

Si no recuerdo mal, ambos libros utilizan un Hermitian $\gamma_{5}$ que corresponde a la helicidad para espinores sin masa. Entonces, la diferencia entre las dos trazas es que en Peskin y Schroeder, las tres espinelas sesgadas-Hermitianas $\gamma$ -aportan un factor adicional de $i$ cada uno. Ese es el origen del factor de $i$ en sus últimas expresiones.