Demostrar que $\frac{x^2y}{1+x^4+y^2}$ no tiene mínimo global

Question

No estoy seguro de cómo abordar este problema. Los métodos habituales no funcionan para encontrar un mínimo.

Yo lo puedo ver, pero, ¿cómo demostrar que no debe existir un mínimo?

Answer 1

Supongamos que se tiene un mínimo global en $(a,b)$. A continuación, el mapa de $y\mapsto f(a,y)$ tiene un mínimo en $b$. Pero el estándar de Cálculo métodos muestran que $b=-\sqrt{1+a^4}$ y que tharefore el mínimo es de $-\frac{a^2}{2\sqrt{1+a^4}}$. Esto no puede ser, porque$$\lim_{a\to\pm\infty}-\frac{a^2}{2\sqrt{1+a^4}}=-\frac12,$$pero el límite es de nunca alcanzado.

Answer 2

Desde $f(0,y) = 0$, podemos ver que $y$ tendría que ser negativo para un mínimo global, y $x$ tendría que ser distinto de cero.

Sin embargo, en esas condiciones:

$$\begin{array}{rcl} f(2x,4y) &=& \dfrac{(2x)^2(4y)}{1+(2x)^4+(4y)^2} \\ &=& \dfrac{16x^2y}{1+16x^4+16y^2} \\ &=& \dfrac{x^2y}{0.0625+x^4+y^2} \\ &<& \dfrac{x^2y}{1+x^4+y^2} \\ &=& f(x,y) \end{array}$$

Answer 3

Desde $(x^2-|y|)^2 = x^4+y^2 - 2 x^2|y| \ge 0$,$x^4+y^2 \ge 2 x^2 |y|$.

Por lo tanto ${x^2|y| \over 1+x^4+y^2} \le {x^4+y^2 \over 1+x^2 + y}<{1 \over 2}$.

Si dejamos $x(t) = \sqrt{|t|}, y(t) = -t$,$\lim_{t \to\infty } {-t^2 \over 1+ 2 t^2} = -{1\over 2}$.

En particular, $\inf_{x,y} {x^2 y \over 1+x^4+y^2} = - {1 \over 2}$, pero el valor de $-{1 \over 2}$ nunca es alcanzado.

Answer 4

Para todos los $x,y$, tenemos

$$\begin{align} x^4+2x^2y+y^2=(x^2+y)^2\ge0\gt-1 &\implies2x^2y\gt-1-x^4-y^2\\ &\implies{x^2y\over1+x^4+y^2}\gt-{1\over2} \end{align}$$

pero, establecimiento $y=-x^2$, tenemos

$${-x^4\over1+2x^4}\to-{1\over2}$$

como $x\to\infty$, lo $-1/2$ es un infimum que nunca es alcanzado.

Answer 5

Una heurística es mirar los valores de los términos de la suma son iguales, que es $x^4=y^2$. Puesto que estamos interesados en los valores negativos, esto conduce a $y=-x^2$.

Usted puede comprobar fácilmente que el límite para un gran $x$ ahora $-1/2$.

Ahora es suficiente para demostrar que la expresión es siempre mayor que $-1/2$, pero esto se puede hacer mediante la multiplicación de la deseada desigualdad por el denominador y reconocer a los tres términos de una completa cuadrado.