Una condición que implica $\phi $ holomorphic es lineal

Question

Deje $\Omega$ ser un almacén abierto subconjunto de $\mathbb{C}$, e $\phi : \Omega \rightarrow \Omega$ holomorphic.

Probar que si existe un punto de $z_{0} \in \Omega$ tal que $$\phi(z_{0}) = z_{0}\quad\text{and}\quad\phi'(z_{0}) = 1,$$ then $\phi $ es lineal.

Cualquier sugerencia ?

Answer 1

Como $\Omega$ es acotado, entonces también lo es $\varphi$, es decir, $|\varphi(z)|\le M$, para algunas de las $M>0$.

Sin pérdida de generalidad supongamos que $z_0=0$. Si $\varphi$ no es el mapa de identidad, luego cerca de $z=0$ $$ \varphi(z)=z+a_kz^k+{\mathcal O} (z^{k+1}), $$ donde $a_k$ es el primer coeficiente distinto de cero de su expansión. Claramente, si $\varphi^{n\circ}=\underbrace{\varphi\circ\cdots\circ\varphi}_{\text{$n$ times}}$,$\big|\varphi^{n\circ}(z)\big|\le M$, y $$ \varphi^{n\circ}(z)=z+na_kz^k+{\mathcal O} (z^{k+1}). $$ Esto significa que $$ \frac{d^k}{dz^k}\big(\varphi^{n\circ}(z)\big)_{z=0}=n k!a_k $$ Como $0\in\Omega$, hay un $r>0$, de tal manera que $\bar D_r\subset\Omega$ donde $\bar D_r$ es el cierre del disco de radio $r$ y centrada en el origen. Según Cauchy de la integral de la fórmula $$ \frac{d^k}{dz^k}\big(\varphi^{n\circ}(z)\big)_{z=0}=\frac{k!}{2\pi i}\int_{|z|=r}\frac{\varphi^{n\circ}(z)\,dz}{z^{k+1}}, $$ y por lo tanto $$ n\,|a_k| \le \frac{M}{r^k}, $$ para cada $n\in\mathbb N$, lo cual es una contradicción, ya que el lado izquierdo tiende a infinito, cuando $n\to\infty$ y el lado derecho es constante.