La ecuación de Helmholtz: Cómo probar esta $T\psi{(x)}\in\Omega$.

Question

Deje $\Omega\subset R^2$ ser simplemente conectado delimitada de dominio con infinitamente diferenciable límite de $\partial\Omega$y la unidad normal vector de $v$ dirigida hacia el exterior de $\Omega$ $$\Phi{(x,y)}=\dfrac{i}{4}H^{(1)}_{0}(k|x-y|),x\neq y$$ se denota que la solución fundamental a los dos-dimensional de la ecuación de Helmholtz en términos de la primera clase la función de Hankel de orden cero

donde la ecuación de Helmholtz $$\Delta u+k^2u=0, \mbox{in} R^2\overline{\Omega}$$ y $$(T\psi)(x):=\dfrac{\partial}{\partial v(x)}\int_{\partial\Omega}\dfrac{\partial\Phi{(x,y)}}{\partial v(y)}\psi{(y)}ds(y),x\in\partial\Omega.$$

demostrar que: $$(T\psi)(x)=\dfrac{\partial}{\partial s(x)}\int_{\partial\Omega}\Phi{(x,y)}\dfrac{\partial \psi}{\partial s}(y)ds(y)+k^2v(x)\cdot\int_{\partial \Omega}\Phi{(x,y)}v(y)\psi{(y)}ds(y),x\in\partial\Omega $$

Este relusut es a partir de este papel:http://num.math.uni-goettingen.de/kress/kress2013.pdf

El autor puede decir en [12], http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02941090#page-1

Ahora me encuentro con este artículo,porque no sé francés,así que no estoy seguro de que esta es la prueba, si alguien entiende esta prueba, puede que me lo explique. muchas gracias. Gracias

Este foto es de [12]

Answer 1

Deje $\Omega$ una superficie abierta con límite de $\partial \Omega$ con vector normal $\pmb \nu$. Para un campo de vectores $\pmb F$, el teorema de Stokes da $$ \int_\Omega \nu_l\varepsilon_{lmi}\frac{\partial F_i}{\partial x_m}ds(x)=\int_{\partial \Omega} F_i dx_i $$ donde $\varepsilon_{ijk}$ es la de Levi Civita alternando tensor y $\Omega$ se ha orientado en la forma estándar. Aplicamos el teorema de Stokes para el campo de vectores $$ F_i=\psi \varepsilon_{ijk}\frac{\partial }{\partial x_j}\Phi(P,Q)=-\psi \varepsilon_{ijk}\frac{\partial }{\partial x'_j}\Phi(P,Q) $$ donde $Q$ está en $(x_1,x_2,x_3)$ , $P$ es en $(x'_1,x'_2,x'_3)$ $\psi(\pmb{x})$ es un buen campo escalar. Supongamos para empezar que $P$ no está en $\Omega$. Por lo tanto $$ \begin{align} \int_{\partial \Omega} F_i \operatorname{d}x_i&=\int_\Omega \varepsilon_{lmi}\varepsilon_{ijk}\nu_l\frac{\partial}{\partial x_m} \left(\psi\frac{\partial\Phi}{\partial x_j} \right)\operatorname{d}s(\pmb{x})\\ &=\int_\Omega \left[\nu_j\frac{\partial}{\partial x_k} \left(\psi\frac{\partial\Phi}{\partial x_j} \right)- \nu_k\frac{\partial}{\partial x_j} \left(\psi\frac{\partial\Phi}{\partial x_j} \right) \right]\operatorname{d}s(\pmb{x}) \end{align} $$ el uso de $\varepsilon_{lmi}=\varepsilon_{ilm}$$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}$. Como $\Phi$ satisface la ecuación de Helmholtz, obtenemos $$ \begin{align} \int_{\partial \Omega} F_i \operatorname{d}x_i&=k^2\int_\Omega \psi\nu_k\Phi \operatorname{d}s(\pmb{x})- \tfrac{\partial}{\partial x'_k}\int_\Omega \psi \tfrac{\partial\Phi}{\partial \nu_q}\operatorname{d}s(\pmb{x})+ \int_\Omega \left(\nu_k\tfrac{\partial\psi}{\partial x_j}- \nu_j\tfrac{\partial\psi}{\partial x_k}\right)\tfrac{\partial\Phi}{\partial x'_j} \operatorname{d}s(\pmb{x}). \end{align} $$ A continuación, vamos a $P \to p \in\Omega$ dar $$ \lim_{P\a p}\tfrac{\partial}{\partial x'_k}\int_\Omega \psi \tfrac{\parcial\Phi}{\parcial \nu_q}\operatorname{d}s(x)=\lim_{P\a p}\left\{k^2\int_\Omega \psi\nu_k\Phi \operatorname{d} (\pmb{ x})-\int_{\partial \Omega} F_i dx_i+\tfrac{\partial}{\partial x'_j}\int_\Omega \mu_{jk}(q) \Phi \operatorname{d} (\pmb{ x}) \right\} $$ donde $\mu_{jk}=\nu_k\frac{\partial\psi}{\partial x_j}- \nu_j\frac{\partial\psi}{\partial x_k}$. Los primeros dos términos en el lado derecho se encuentran continua como $P \to p$. El último término es el gradiente de una sola capa potencial; su valor limitante es $$ \pm\nu_j(p)\mu_{jk}(p)+\int_\Omega \mu_{jk}(q) \frac{\partial \Phi}{\partial x'_j} \operatorname{d} (\pmb{ x}), $$ el signo se $+ (−)$ al $\pmb\nu_p$ hacia los puntos (lejos de) $P$. Por lo tanto, multiplicando por $\nu_k(p)$ , obtenemos $$ \begin{align} \frac{\partial }{\partial \nu_p} \int_\Omega \psi(q)\frac{\partial \Phi}{\partial \nu_q}\operatorname{d}s_q&=k^2\int_{\Omega}\nu_k(p)\nu_k(q)\Phi ds_q-\nu_k(p)\int_{\partial\Omega}\psi\varepsilon_{ijk} \frac{\partial \Phi}{\partial x_j} \operatorname{d}x_i+\\ &\quad+\nu_k\int_\Omega \left(\nu_k\frac{\partial\psi}{\partial x_j}- \nu_j\frac{\partial\psi}{\partial x_k}\right)\frac{\partial\Phi}{\partial x'_j} \operatorname{d}s(\pmb{x})\\ &=k^2\int_{\Omega}\pmb\nu(p)\cdot\pmb\nu(q)\Phi (p,q)\psi(q) \operatorname{d}s_q+ \int_{\partial\Omega}\psi(q)\pmb\nu(p)\cdot(\operatorname{d}\pmb r\times\nabla_q\Phi (p,q))+\\ &\quad+\int_{\Omega}(\pmb\nu(q)\times\nabla_q\psi)\cdot(\pmb\nu(p)\times\nabla_p\Phi(p,q))\operatorname{d}s_q \end{align} $$ donde hemos observado que $\nu_j\nu_k\mu_{jk}= 0$. La integral de línea alrededor de $\partial\Omega$ desaparecerá si $\Omega$ es una superficie cerrada o si $\psi = 0$ on $\partial\Omega$ y , a continuación, obtenemos Maue la fórmula: $$ (T\psi)(p)=\int_{\Omega}(\pmb\nu(q)\times\nabla_q\psi)\cdot(\pmb\nu(p)\times\nabla_p\Phi(p,q))\operatorname{d}s_q+k^2\int_{\Omega}\pmb\nu( p)\cdot\pmb\nu( p )\Phi (p,q)\psi(q) \operatorname{d}s_q $$ donde $(T\psi)(p)$ es el normal derivado de una doble capa de potencial, es decir, $$ (T\psi)(p)=\frac{\partial }{\partial \nu_p} \int_\Omega \psi(q)\frac{\partial \Phi}{\parcial \nu_q}\operatorname{d}s_q,\qquad p\en\Omega $$ que es a menudo llamado un hypersingular operador. El Maue la fórmula muestra que $T\psi$ se puede escribir como una integral que involucra $\psi$ y su: derivados. Es válida, siempre que se $\Omega$ es una superficie cerrada (o una colección de cerrado de las superficies). También es válido para las superficies abiertas, pero sólo si $\psi$ desaparece alrededor de los límites de la $\Omega$, de lo contrario hay una línea adicional integral de la contribución de $\partial\Omega$.