Encontrar una función tal que $f(\log(x)) = x \cdot f(x) $

Question

Recientemente he leído un artículo en el que el autor describe cómo encontrar algunas de las funciones que obedece a ciertos recursión relaciones. Si queremos encontrar una función que satisface, por ejemplo, $f(x^a) = x \cdot f(x)$, entonces, el autor explica que podemos proceder de la siguiente manera:

Considere la posibilidad de $ x > a > 1$ . A continuación, $f(x) = f((x^{(1/a)})^a) = x^{1/a}f(x^{(1/a)})$

$= x^{1/a}f((x^{(1/a^2)})^a) = x^{1/a + 1/a^2}f(x^{(1/a^2)}) = x^{1/a + 1/a^2 + ... + 1/a^n}f(x^{1/a^n})$ .

Sabemos que el límite de $1/a^n$ es cero, al $n$ tiende a infinito. La igualdad de $ r + r^2 + r^3 + ... = r/(1-r)$ también es útil. Cuando finalmente se establezca $f(1) = 1$, podemos escribir:

$f(x) = x^{\frac{1/a}{1-1/a}} f(x^0) = x^{\frac1{a-1}}$.

Ahora, el autor y me pregunto si una función se puede encontrar que satisifies la relación de recurrencia $f(\log(x)) = x \cdot f(x)$ . Para mí, la principal motivación para esta pregunta es simple curiosidad. Como siempre, los punteros de la literatura relevante son muy apreciados.

Gracias,

Max

NB: log(x) es el logaritmo natural de x.

Answer 1

Reclamación dada cualquier función de $g:(0,1]\to \mathbb{R}$, no existe una única extensión de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la satisfacción de su relación.

Prueba. Para $x > 1$, no existe un único $n\in\mathbb{N}$ tales que han tomado la $n$veces el logaritmo de $x$ le da un número en $(0,1]$. Y para $x \leq 0$, $e^x \in (0,1]$. Así que por iteración la función está bien definida.

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Edición está Bien, me permiten hacer esto de forma explícita. Arreglar tu función favorita $g(x)$$(0,1]$. La mina pasa a ser el Cantor de la función. No importa en absoluto para la construcción de lo que esta función.

Deje que su $f(x)$ ser definidas a trozos. Para $x\in (0,1]$ definir $f(x) = g(x)$. Para $x\leq 0$, definir $f(x) = e^{x} g(e^{x})$. Observe que $e^x$ $x\leq 0$ es un número en $(0,1]$.

Para $1 < x \leq e$, definir $f(x) = \frac1x g(\log x)$. Para $e < x \leq e^e$, vamos a $f(x) = \frac1x f(\log x) = \frac1{x\log x} g(\log \log x)$. Para $e^e < x \leq e^{e^e}$, vamos a $f(x) = \frac1x f(\log x) = \frac1{x \cdot \log x \cdot \log\log x} g(\log \log \log x)$. Y así sucesivamente.

Si tu función favorita es $g(x) = 0$, luego al ejecutar este procedimiento consigue Chandru el ejemplo de donde $f(x) = 0$ en todas partes. Si tu función favorita es $g(x) = 1$, usted tiene que $f(x) = e^{x}$ $x \leq 0$, $f(x) = 1$ para $0 < x \leq 1$, $f(x) = \frac1x$ para $1 < x \leq e$, $f(x) = \frac{1}{x\log x}$ para $e < x \leq e^e$ y así sucesivamente y así sucesivamente.

Para cualquier función que usted elija para iniciar con $g(x)$ definido en $(0,1]$, se obtiene una función correspondiente $f(x)$ que resuelve su relación de recurrencia. Ya que hay una cantidad no numerable de funciones en $(0,1]$, también hay una cantidad no numerable de las posibles soluciones a su relación de recurrencia.