Diferencia entre el $V^P$ $V[G]$

Question

Esto puede ser una pregunta básica. Estoy estudiando obligando a Kunen del libro. Sin embargo, en varios otros artículos que estoy leyendo, que el uso de que algo es cierto en $V^P$ en lugar de $V[G]$. Sé que si $V[G]\models \varphi((\tau_1)_G,\ldots, (\tau_n)_G)$, por la Verdad Lema, no es $p\in G$ tal que $p\Vdash(\tau_1,\ldots, t_n)$. Sin embargo, creo que lo que quieren decir con $\varphi$ que es verdad en $V^P$, es que $\mathbb 1_P\Vdash\varphi(\tau_1,\ldots,\tau_n)$.

Así que vamos a

(1) No es $p\in G$ tal que $p\Vdash \varphi$.

(2) $\mathbb 1_P\Vdash\varphi$.

Obviamente, (2) implica (1), en $\mathbb 1_P$ siempre pertenecen a $G$. Sin embargo, no veo que son equivalentes. Mi primera pregunta es: ¿son realmente equivalentes?

Y mi segunda pregunta, cual es la motivación de todo esto, dado un orden parcial $P$, lo que significa realmente $P$ fuerzas de $\varphi$? Qué significa (1) o (2) en el caso de que ellos no son equivalentes? Por encima de todo, me gustaría que forzar un P que estoy construyendo realmente las fuerzas de una fórmula $\varphi$. Sin embargo, me gustaría decir esto como una fórmula de sólo $V$ (es decir, algo como $"V\models P$ fuerzas de $\varphi"$, por lo que no puedo mencionar a $G$). Sin embargo, si la "verdadera" definición de $P$ fuerzas de $\varphi$ es (1), no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Es a menudo el caso de que uno trabaja mucho y con nociones de forzar a la vez (lotes = más de uno, pero por lo general más de dos y, a veces, hay varios modelos para trabajar con así), en cuyo caso se convierte en mucho más fácil de usar $V^P$ en lugar de $V[G]$, ya que nos ahorra la necesidad de realizar el seguimiento que se filtro genérico viene de donde.

Así que cuando escribimos $V^P\models\ldots$ realidad queremos decir que $V[G]\models\ldots$ donde $G$ $P$- filtro genérico más de $V$.

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Por ejemplo, supongamos que usted tiene una escuela primaria de la incrustación de $j\colon V\to M$ $P\in V$ es un forzamiento, a continuación, $j(P)\in M$ es un forzamiento. Ahora quieres hablar de $V[G]$ $M[H]$ donde $H$ $j(P)$- genérico más de $M$. Por el contrario, es mucho más fácil hablar de $V^P$$M^{j(P)}$.

(Yo estaba generalmente en contra de este tipo de abuso de notación, pero recientemente me senté en un curso acerca de cómo forzar, grandes cardenales y propiedades combinatorias de las pequeñas cardenales. Después de sólo dos semanas se hizo evidente cómo superior esto es $V[G]$ la notación en la mayoría de los casos).

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Además con respecto a los comentarios.

Podemos definir obligando internamente y externamente. La definición externa es simple, $p\Vdash\varphi$ si para cada filtro genérico $G$ tal que $p\in G$ es cierto que $V[G]\models\varphi$.

Ahora también es cierto que si $V[G]\models\varphi$ entonces no es $p\in G$ tal que $p\Vdash\varphi$. De lo contrario, cada elemento en $G$ no fuerza a $\varphi$, pero desde $\{q\in P\mid q\Vdash\varphi\lor q\Vdash\lnot\varphi\}$ es densa, hay algunos $p\in G$ decidir el valor de verdad de $\varphi$, por lo que debe haber una obligando a $\lnot\varphi$. Por lo $V[G]$ no puede satisfacer $\varphi$.

Lo anterior es fácilmente demostrado a partir de la definición interna de el forzamiento de la relación.

Por lo tanto, es cierto que $V[G]\models\varphi$ si y sólo si existe $p\in G$ tal que $p\Vdash\varphi$.

Ahora bien, si se requiere que para cada genéricos $G$, $1_P$ fuerzas de $\varphi$, debido a que aparece en cada filtro genérico $G$.