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Diferencia entre el VP V[G]

Esto puede ser una pregunta básica. Estoy estudiando obligando a Kunen del libro. Sin embargo, en varios otros artículos que estoy leyendo, que el uso de que algo es cierto en VP en lugar de V[G]. Sé que si V[G]φ((τ1)G,,(τn)G), por la Verdad Lema, no es pG tal que p\Vdash(\tau_1,\ldots, t_n). Sin embargo, creo que lo que quieren decir con \varphi que es verdad en V^P, es que \mathbb 1_P\Vdash\varphi(\tau_1,\ldots,\tau_n).

Así que vamos a

(1) No es p\in G tal que p\Vdash \varphi.

(2) \mathbb 1_P\Vdash\varphi.

Obviamente, (2) implica (1), en \mathbb 1_P siempre pertenecen a G. Sin embargo, no veo que son equivalentes. Mi primera pregunta es: ¿son realmente equivalentes?

Y mi segunda pregunta, cual es la motivación de todo esto, dado un orden parcial P, lo que significa realmente P fuerzas de \varphi? Qué significa (1) o (2) en el caso de que ellos no son equivalentes? Por encima de todo, me gustaría que forzar un P que estoy construyendo realmente las fuerzas de una fórmula \varphi. Sin embargo, me gustaría decir esto como una fórmula de sólo V (es decir, algo como "V\models P fuerzas de \varphi", por lo que no puedo mencionar a G). Sin embargo, si la "verdadera" definición de P fuerzas de \varphi es (1), no sé cómo hacerlo.

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DanV Puntos 281

Es a menudo el caso de que uno trabaja mucho y con nociones de forzar a la vez (lotes = más de uno, pero por lo general más de dos y, a veces, hay varios modelos para trabajar con así), en cuyo caso se convierte en mucho más fácil de usar V^P en lugar de V[G], ya que nos ahorra la necesidad de realizar el seguimiento que se filtro genérico viene de donde.

Así que cuando escribimos V^P\models\ldots realidad queremos decir que V[G]\models\ldots donde G P- filtro genérico más de V.


Por ejemplo, supongamos que usted tiene una escuela primaria de la incrustación de j\colon V\to M P\in V es un forzamiento, a continuación, j(P)\in M es un forzamiento. Ahora quieres hablar de V[G] M[H] donde H j(P)- genérico más de M. Por el contrario, es mucho más fácil hablar de V^PM^{j(P)}.

(Yo estaba generalmente en contra de este tipo de abuso de notación, pero recientemente me senté en un curso acerca de cómo forzar, grandes cardenales y propiedades combinatorias de las pequeñas cardenales. Después de sólo dos semanas se hizo evidente cómo superior esto es V[G] la notación en la mayoría de los casos).


Además con respecto a los comentarios.

Podemos definir obligando internamente y externamente. La definición externa es simple, p\Vdash\varphi si para cada filtro genérico G tal que p\in G es cierto que V[G]\models\varphi.

Ahora también es cierto que si V[G]\models\varphi entonces no es p\in G tal que p\Vdash\varphi. De lo contrario, cada elemento en G no fuerza a \varphi, pero desde \{q\in P\mid q\Vdash\varphi\lor q\Vdash\lnot\varphi\} es densa, hay algunos p\in G decidir el valor de verdad de \varphi, por lo que debe haber una obligando a \lnot\varphi. Por lo V[G] no puede satisfacer \varphi.

Lo anterior es fácilmente demostrado a partir de la definición interna de el forzamiento de la relación.

Por lo tanto, es cierto que V[G]\models\varphi si y sólo si existe p\in G tal que p\Vdash\varphi.

Ahora bien, si se requiere que para cada genéricos G, 1_P fuerzas de \varphi, debido a que aparece en cada filtro genérico G.

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