Cómo calcular el parámetro de escala de un Cauchy variable aleatoria

Question

Deje $(X_n)$ ser variables aleatorias iid y supongo que tiene media 0 y siga distribución de Cauchy.

Sé que puedo establecer la ubicación del parámetro a 0. Mi pregunta es cómo encontrar el correspondiente parámetro de escala. Gracias!

Answer 1

Tenga en cuenta que la media de la distribución de Cauchy no existe. Sin embargo, supongo que te refieres a el centro de simetría de la de Cauchy (que es el modo y la mediana y varias otras medidas de ubicación).

Vamos a llamar al centro de la $\mu$ y el parámetro de escala $\sigma\,$:

$$f(x; \mu,\sigma) = \frac{1}{\pi\sigma \left[1 + \left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2\right]} ,\quad \sigma>0,\;\;x,\mu\in \mathbb{R}$$

1. Quick estimate: A reasonable quick estimate for $\sigma$ can be obtained from half the interquartile range. This ignores that $\mu$ is known, of course. The median absolute value would be a corresponding quantity for $\mu=0$. Si no recuerdo mal, creo que el asintótica eficiencia relativa (SE) es de aproximadamente el 80% para que la mediana de valor absoluto, pero no me fijé en eso.

2. De máxima verosimilitud: Vamos a $X$ $\sim\text{Cauchy}(\mu_0,\sigma)$ para $\mu_0$.

   El MLE para $\sigma$ está dada por la solución de la siguiente para $\hat\sigma\,$:

   $$\sum_i \frac{\hat{\sigma}^2}{(x_i-\mu_0)^2+\hat{\sigma}^2}=\frac{n}{2}\,.$$

   Existe una solución para cualquier $n>2$ y es único (por ejemplo, véase Copas, 1975$^{[2]}$). Esto funciona bien, pero debe ser iterado.

3. Eficiente de un paso de estimación: Este$^{[2]}$ reciente de papel da un eficiente (~98%) y simple estimación basada en el Hodges-Lehmann estimador, así como algunos datos de interés sobre el estimador ML. En particular, la sección 3 le da detalles para el conocido caso de la posición:

   Cuando la ubicación conocida es cero, que muestran que la mitad de la mediana de la $n(n+1)/2$ logaritmos de los valores absolutos de pares de productos de las observaciones es de Cauchy ML para $\log(\sigma)$.

   Es decir, $\log(\hat{σ}_\text{HLE}) =\frac{1}{2}\text{med}(\ln|X_iX_j|), 1≤i, j≤n, i≤j$.

   Este es imparcial para $\log(\sigma)$ y asintóticamente una distribución normal. Como resultado, exponentiating que es conveniente (aunque no imparcial) estimador $\sigma$. Más detalles están en el papel, incluyendo la varianza de la distribución asintótica normal para el estimador de la $\log(\sigma)$.

   Rousseeuw y Croux (1993)$^{[3]}$ también dar una sólida escala de estimador, $Q_n$ (para la ubicación desconocida caso), que también es muy eficiente en la de Cauchy. Se basa en la ampliación de la primer cuartil de los pares absoluta distancias entre las observaciones. (Está disponible en el paquete robustbase en R, pero para el Cauchy usted necesita otro factor de escala que el valor predeterminado de escala constante.)

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Referencias

$[1]$ Copas, J. B., (1975),
"En el unimodality de la probabilidad para la distribución de Cauchy,"
Biometrika, 62(3):701-04.

$[2]$ Kravchuk, O. Y. y Pollett, P. K. (2012),
"Hodges-Lehmann-estimador de escala para la distribución de Cauchy."
Comunicaciones en Estadística-Teoría y Métodos, Vol 41(20):3621-3632.

(Ver también esta versión de la ponencia presentada en la página web de la segunda autora, aquí)

$[3]$ Rousseeuw, P. y Croux, C. (1993),
"Alternativas a la mediana de la desviación absoluta,"
Revista de la Asociación Americana de Estadística, 88(424):1273-1283