Buscando el máximo valor del parámetro s.t. dos de la variable de desigualdad que aún se mantiene

Question

Considere la posibilidad de la expresión $$\frac 12\left(\frac{a^2}b+\frac{b^2}a\right)$$ en dos variables $\,a,b\,$ reside en $\,\mathbb R^{>0}$.

La media aritmética $\,\frac{a+b}2\,$ es un límite inferior para que
$\big[$ ha $\,a^2b\le(2a^3+b^3)/3\,$ por AM-GM, hacer lo mismo con $\,ab^2$, a continuación, sumar y dividir por $2ab\,$$\big]$,
pero $\,\max\{a,b\}\,$ no es
$\big[$ elija $\,(a,b)=(3,2)\,$, por ejemplo, la expresión se evalúa a $\,2\tfrac{11}{12}\,\big]$.

Tanto la media aritmética ($x=1$) y el máximo ($x=\infty$) son instancias de la media de Hölder $$\left(\frac{a^x+b^x}2\right)^{\frac 1x}\quad\text{with }\; x\,\in\,\{-\infty\}\cup\mathbb R\cup\{\infty\}$$ aka Poder decir, que se sabe es estrictamente creciente con $\,x\,$ si $\,a\ne b$, y mi pregunta es:

¿Cuál es el valor máximo de $\,x\,$ tal que $$\left(\frac{a^x+b^x}2\right)^{\frac 1x}\;\leq\;\frac 12\left(\frac{a^2}b+\frac{b^2}a\right)$$ tiene para todos los $\,a,b>0\,$?

Vamos a recoger el específico "max contra-ejemplo" $\,(a,b)=(3,2)\,$. El siguiente gráco captura de pantalla muestra el cero, por cortesía de WolframAlpha:

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Volviendo al caso general, podemos al menos el estado que $\,x_{max}\geqslant 5\,$:
Después de tomar la quinta potencia de la expresión correspondiente y limpieza de denominadores (para llegar a la LHS, como la de abajo), pude encontrar un Certificado de positividad $$\begin{eqnarray} \left(a^3 + b^3\right)^5 -16a^5b^5\left(a^5 +b^5\right)\; & =\;\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\big[a^{12} + a^{11}b +2a^{10}b^2 +4a^9b^3 +8a^8b^4 \\ & +8a^6b^6 +8a^4b^8 +4a^3b^9 + 2a^2b^{10} +ab^{11} +b^{12}\big] \\ & + 3a^3b^3\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^3\left(a-b\right)^4 \end{eqnarray}$$ Se muestra también que la igualdad caso tiene iff $\,a=b$.

Answer 1

La siguiente desigualdad es verdadera.

Deje $a$ $b$ ser números positivos.

Demostrar que $$\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\right)\geq\sqrt[9]{\frac{a^9+b^9}{2}}.$$

De hecho, tenemos que demostrar que $$(a^3+b^3)^9\geq256(a^9+b^9)a^9b^9$$ o $$(a^3+b^3)^8\geq256(a^6-a^3b^3+b^6)a^9b^9.$$ Ahora, vamos a $a^6+b^6=2ua^3b^3.$

Por lo tanto, $u\geq1$ y tenemos que demostrar que $$(2u+2)^4\geq256(2u-1),$$ , que es AM-GM: $$(2u+2)^4=(2u-1+3)^4\geq\left(4\sqrt[4]{(2u-1)\cdot1^3}\right)^4=256(2u-1).$$ Hecho!

Answer 2

Aquí es una prueba de que la máxima $x$ debe $\le 9$.

Consideramos $a = 1 + u$, $b = 1$ y calcular el desarrollo de Taylor $$f(u) = \frac 12 \left( (u+1)^2 + \frac{1}{u+1}\right) - \left( \frac{(1+u)^x + 1}{2}\right)^\frac 1x$$ en $u = 0$.

De la serie geométrica tenemos $$\frac 12 \left( (u+1)^2 + \frac{1}{u+1}\right) = 1 + \frac 12 u + u^2 + O(u^3)$$ y desde el binomio de la serie obtenemos $$(1+u)^x + 1 = 2 + xu + \frac{x(x-1)}{2} u^2 + O(u^3)$$ y, a continuación, $$\left( \frac{(1+u)^x + 1}{2}\right)^\frac 1x = 1 + \frac 12 u + \frac{x-1}{8}u^2 + O(u^3)$$ De ello se sigue que $$f(u) = \frac{9-x}{8} u^2 + O(u^3) \text{ para } u \0 \, .$$

Si $x > 9$$f(0) =f'(0) = 0$$f''(0) < 0$, es decir, $f$ tiene un máximo local estricto en $u = 0$, por lo que el desee la desigualdad no se cumple para $a = 1+u$, $b=1$ con $u \ne 0$ lo suficientemente pequeño.

Answer 3

No una respuesta, sólo un poco de ilustración. Primero, la introducción:

$$y=\frac{a}{b}$$

Estamos buscando a una desigualdad:

$$\left(\frac{y^x+1}2\right)^{\frac 1x}\;\leq\;\frac 12\left(y^2+\frac{1}y\right)$$

El trazado de la diferencia con Wolfram Alpha para $x=1..10$ $y \in (0,20)$ podemos ver que la función aparentemente tiene un máximo alrededor de $y=1$.

Sin embargo, tomar una mirada más de cerca, parece que para $x>9$ la función tiene dos máximos de alrededor de $1$ donde la desigualdad se rompe.

Por lo tanto usted debe , probablemente, la búsqueda de $x$$9$$10$.

Cómo encontrar el valor exacto y para demostrar la anterior gama queda por ver (por supuesto, podemos probar directamente el número de maxima para $x=8$ $x=9$ a ver por nosotros mismos si queremos.

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Una foto muy interesante si tenemos incluso pequeños ranger para $y$:

Aparentemente $x=9$ es (o cerca de) un caso límite.

Answer 4

Deje $a=b-1$, lo $\frac{1}{2}(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}) =b+\frac{1}{2 (b-1)}+\frac{1}{2 b}-\frac{1}{2} < b-\frac{1}{3}$ cierto para $b>6.54138$.

Ahora $\lim \limits_{x \to \infty} (\frac{a^x+b^x}{2})^{\frac{1}{x}} =(\frac{(b-1)^x+b^x}{2})^{\frac{1}{x}} = ((b-1)^x +b^x)^{\frac{1}{x}} *0.5^{1/x} = (b^x(1+(1-1/b)^x))^{\frac{1}{x}}*0.5^{\frac{1}{x}} = (b^x)^{\frac{1}{x}} (1+(1-1/b)^x)^{\frac{1}{x}} *0.5^x = b *(1+(1-\frac{1}{b})^x)^{\frac{1}{x}} *0.5^\frac{1}{x} = b$. asumiendo $b>2$.

Así que a partir de $x_0$ $x \geq x_0$ tendrá que $(\frac{(b-1)^x+b^x}{2})^{\frac{1}{x}} > b-\frac{1}{3}$.

Y no se trataba solo de $a=b-1$ cualquier $a$ elegir entre $0.9b <a <b$, tendrán $x_0$ que $x\geq x_0$ tu desigualdad no se sostiene.

Por ejemplo, $b=500$ $\frac{1}{2}(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}) = 499.502002 <499 \frac{2}{3} = 500-\frac{1}{3}$

Sin embargo, para todos los $x \geq 723$ el plazo $(\frac{(b-1)^x+b^x}{2})^{\frac{1}{x}} \geq 499 \frac{2}{3}$.

La desigualdad es falsa cuando $a <b$ $a$ "cerca" $b$ , e $x$ es lo suficientemente grande.