Es cierto que $(a^2-ab+b^2)(c^2-cd+d^2)=h^2-hk+k^2$ para algunos coprime $h$$k$?

Question

Consideremos dos números de la forma $a^2 - ab + b^2$ e $c^2 - cd + d^2$ que no son ambos divisibles por $3$ que $(a, b) = 1$ e $(c,d) = 1$. La ejecución de algunos cálculos parece que el producto $$(a^2 -ab + b^2)(c^2 - cd + d^2)$$ is still of the form $h^2 - hk + k^2$ for some suitable coprime integers $h,k$. ¿Es esto cierto?

Traté de demostrarlo por escrito explícitamente el producto y buscando patrones, pero no he tenido suerte. Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Deje $u$ e $v$ ser ceros de $x^2-x+1=0$. Entonces $$x^2-x+1 = (x-u)(x-v)$$ and $$u^2=u-1\;\;\;\wedge \;\;\;\;v^2=v-1$$

por lo $$(a^2 -ab + b^2)(c^2 - cd + d^2) = \color{red}{(a-bu)}\color{blue}{(a-bv)}\color{red}{(c- du)}\color{blue}{(c-dv)}$$ $$= \color{red}{\Big(ac+bdu^2-(ad+bc)u\Big)}\color{blue}{\Big(ac+bdv^2-(ad+bc)v\Big)}$$ $$= \Big(\underbrace{ac-bd}_m-\underbrace{(ad+bc-bd)}_n u\Big)\Big(\underbrace{ac-bd}_m-\underbrace{(ad+bc-bd)}_n v\Big)$$

$$=(m-nu)(m-nv) = m^2-mn+n^2$$

Answer 2

No es esta Identidad:

$[(ac+bd)^2-(ab(c^2+d^2)-(abcd)+cd(a^2+b^2))+(bc-ad)^2]=(a^2-ab+b^2)(c^2-cd-d^2)$

Por tanto, para:

$(a^2-ab+b^2)(c^2-cd-d^2)=(h^2-hk+k^2)$

$h=(ac+bd)$

$k=(bc-ad)$

$hk=(ac+bd)(bc-ad)$

La condición (c,d)=(2b,b-2a)

Para $(a,b,c,d)=(3,7,14,1)$ obtenemos:

$(49^2-49*95+95^2)=(37)*(183)=6771$