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Ejemplo de anillo finito no conmutativo sin unidad

Pon un ejemplo de un anillo finito, no conmutativo, que no tenga una unidad.

No se me ocurre nada que se ajuste a esta pregunta. Estaba pensando $M_2(\mathbb{R})$ pero tiene la identidad. Se agradece cualquier ayuda.

9 votos

También $M_2(\Bbb R)$ no es realmente muy finito.

15voto

massy255 Puntos 153

Hay muchos ejemplos en este sentido: el $n\times n$ matrices sobre un campo finito con la fila inferior cero.

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La matriz que se parece a la matriz identidad excepto que su última entrada es $0$ en lugar de $1$ parece ser una "unidad de izquierda", pero no funciona desde la derecha, por lo que el ejemplo es válido.

10voto

mathematics2x2life Puntos 5179

El ejemplo más sencillo de este tipo de anillo es dejar que $$ S=\{2 n\;|\; n \in \mathbb{Z}\} $$ y luego considerar el anillo $M_n(S)$ el anillo de $n \times n$ matrices con elementos en $S$ (nótese que esto no incluye la matriz de identidad como $1 \notin S$ ). Para obtener el ejemplo finito, en cambio, basta con tomar $2\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z}$ en lugar del conjunto $S$ .

De hecho, para cada primo $p$ existe un anillo no conmutativo sin unidad de orden $p^2$ . Además, si un anillo de tal orden tuviera una unidad, también sería necesariamente conmutativo.

6 votos

Si toma $\Bbb Z/n\Bbb Z$ en el lugar de $S$ , tendrá un elemento de la unidad. Seguramente querrá $2\Bbb Z/2n\Bbb Z$ .

9voto

Arthur Puntos 4941

$\textbf{Hint:}$ Los anillos matriciales son un buen ejemplo de anillos no conmutativos.

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¿No tienen todos los anillos matriciales la unidad (la matriz identidad)?

5 votos

No, si se toma el anillo de matrices sobre un anillo no unitario.

4voto

GmonC Puntos 114

En el espíritu de la respuesta de massy255: tomar el rng del triángulo superior estricto $n\times n$ matrices sobre un campo finito para $n\geq3$ . Este rng ni siquiera tiene un subrng no nulo con una unidad.

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