Ejemplo de anillo finito no conmutativo sin unidad

Question

Pon un ejemplo de un anillo finito, no conmutativo, que no tenga una unidad.

No se me ocurre nada que se ajuste a esta pregunta. Estaba pensando $M_2(\mathbb{R})$ pero tiene la identidad. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Hay muchos ejemplos en este sentido: el $n\times n$ matrices sobre un campo finito con la fila inferior cero.

Answer 2

El ejemplo más sencillo de este tipo de anillo es dejar que $$ S=\{2 n\;|\; n \in \mathbb{Z}\} $$ y luego considerar el anillo $M_n(S)$ el anillo de $n \times n$ matrices con elementos en $S$ (nótese que esto no incluye la matriz de identidad como $1 \notin S$ ). Para obtener el ejemplo finito, en cambio, basta con tomar $2\mathbb{Z}/2n\mathbb{Z}$ en lugar del conjunto $S$ .

De hecho, para cada primo $p$ existe un anillo no conmutativo sin unidad de orden $p^2$ . Además, si un anillo de tal orden tuviera una unidad, también sería necesariamente conmutativo.

Answer 3

$\textbf{Hint:}$ Los anillos matriciales son un buen ejemplo de anillos no conmutativos.

Answer 4

En el espíritu de la respuesta de massy255: tomar el rng del triángulo superior estricto $n\times n$ matrices sobre un campo finito para $n\geq3$ . Este rng ni siquiera tiene un subrng no nulo con una unidad.