La serie involucra factoriales

Question

¿Cómo uno va sobre demostrando $$\int_{0}^1\frac{e^x-1}{x/2}\ dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{\binom{n+2}{2}}\frac{1}{n!}(0!+1!+2!+3!+...+n!)$$

Answer 1

Vamos $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1} {(n+2)!}(0!+1!+2!+3!+...+n!)x^{n+2}$$ A continuación, se obtiene una ecuación diferencial $$f'(x)=f(x)-\log(1-x)$$ Esto resuelve a $$ f(x)=e^x\int_0^x (-e^{-t}\log (1-t))dt$$ El valor que desea buscar es $2f(1)$, por lo enchufe en $x=1$, $$ f(1)=e\int_0^1 (-e^{-t}\log (1-t))dt$$ Una sustitución de $t$$1-t$, tenemos $$ f(1)=\int_0^1 (-e^t\log t)dt$$ A continuación, la integración por parte da $$ f(1)=-\log t (e^t -1)|_0^1+\int_0^1\frac{e^t-1}{t}dt$$ Así $$2f(1)=\int_0^1\frac{e^t-1}{t/2}dt.$$ Esta es la fórmula deseada

Answer 2

Yo tenía un enfoque directo. Sin embargo, me atoré en el último paso. Si alguien puede comprobar los pasos y sugieren una manera de proceder, te lo agradecería:

Observar que $$\frac{e^x - 1}{x/2} = \frac{2}{x}\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!}$$

Puesto que x está en el positivo de rango, por el teorema de convergencia Monótona, tenemos

$$\int_{0}^{1}\frac{e^x - 1}{x/2}dx = 2\sum_{k=1}^\infty \int_{0}^{1}\frac{x^{k-1}}{k!}dx$$ $$= 2\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!k}$$ $$= \sum_{k=0}^\infty \frac{2!}{(k+1)!(k+1)} = \sum_{k=0}^\infty \frac{2!(k+2)}{(k+1)!(k+1)(k+2)}$$ $$= \sum_{k=0}^\infty \frac{2!}{(k+2)!}\frac{k+2}{k+1}$$ $$ = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\binom{k+2}{2}k!}\frac{k+2}{k+1}$$