El enunciado del problema es:
Mostrar que $S^n\cong\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}.$
Mi intento de la prueba es como sigue:
Deje $f:S^n\to\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}$ se define como $f(x)=h(x)$ $x\neq p$ $f(x)=\infty$ $x=p$ donde $h$ es el homeomorphism entre el$S^n-\{p\}$$\mathbb{R}^n$.
Desde $h$ es bijective, $f(p)=\infty$$f^{-1}(\{\infty\})=p$, es claro que $f$ también es bijective. Debemos mostrar ese $f$ $f^{-1}$ son continuas. Para empezar, vamos a $O\subset\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}$ ser abierto. A continuación, $O\subset\mathbb{R}^n$ o $O=K^c\cup\{\infty\}$ para algunos compacto $K\subset\mathbb{R}^n$. Si $O\subset\mathbb{R}^n$$f^{-1}(O)=h^{-1}(O)$, que sabemos que está abierto desde $h$ es continua.
Ahora, si $O=K^c\cup\{\infty\}$, luego tenemos a $f^{-1}(O)=f^{-1}(K^c\cup\{\infty\})=f^{-1}(K^c)\cup f^{-1}(\{\infty\})=(f^{-1}(K))^c\cup\{p\}=(h^{-1}(K))^c\cup\{p\}.$
Aquí es donde me quedo atascado en la prueba. Lo que quiero decir es que desde $h:S^n-\{p\}\to\mathbb{R}^n$, $(h^{-1}(K))^c\subset S^n-\{p\}$ y por lo que tenemos que $S^n-h^{-1}(K)$, la cual es abierta porque $h^{-1}(K)$ es compacto, más específicamente cerrado y acotado, ya que $K$ es compacto y $h^{-1}$ es continua. El epílogo, me figura que muestra $\,f^{-1}$ es continua será un argumento similar.
Otro enfoque quería llevar a considerar $S^n-\{p\}\cong\mathbb{R}^n$. A continuación, desde el punto de compactification conserva homeomorphisms entre conjuntos, se debe tener $S^n-\{p\}\cup\{p\}=S^n\cong\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}.$ En el texto que estoy leyendo, el punto de compactification añade $\infty$, para agregar un punto diferente, necesitamos confirmar que $S^n-\{p\}$ es localmente compacto Hausdorff espacio? De esa manera, se satisface la hipótesis de un único punto compactification?
Gracias por cualquier ayuda o comentarios!
