Mostrar que $S^n\cong\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}.$

Question

El enunciado del problema es:

Mostrar que $S^n\cong\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}.$

Mi intento de la prueba es como sigue:

Deje $f:S^n\to\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}$ se define como $f(x)=h(x)$ $x\neq p$ $f(x)=\infty$ $x=p$ donde $h$ es el homeomorphism entre el$S^n-\{p\}$$\mathbb{R}^n$.

Desde $h$ es bijective, $f(p)=\infty$$f^{-1}(\{\infty\})=p$, es claro que $f$ también es bijective. Debemos mostrar ese $f$ $f^{-1}$ son continuas. Para empezar, vamos a $O\subset\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}$ ser abierto. A continuación, $O\subset\mathbb{R}^n$ o $O=K^c\cup\{\infty\}$ para algunos compacto $K\subset\mathbb{R}^n$. Si $O\subset\mathbb{R}^n$$f^{-1}(O)=h^{-1}(O)$, que sabemos que está abierto desde $h$ es continua.

Ahora, si $O=K^c\cup\{\infty\}$, luego tenemos a $f^{-1}(O)=f^{-1}(K^c\cup\{\infty\})=f^{-1}(K^c)\cup f^{-1}(\{\infty\})=(f^{-1}(K))^c\cup\{p\}=(h^{-1}(K))^c\cup\{p\}.$

Aquí es donde me quedo atascado en la prueba. Lo que quiero decir es que desde $h:S^n-\{p\}\to\mathbb{R}^n$, $(h^{-1}(K))^c\subset S^n-\{p\}$ y por lo que tenemos que $S^n-h^{-1}(K)$, la cual es abierta porque $h^{-1}(K)$ es compacto, más específicamente cerrado y acotado, ya que $K$ es compacto y $h^{-1}$ es continua. El epílogo, me figura que muestra $\,f^{-1}$ es continua será un argumento similar.

Otro enfoque quería llevar a considerar $S^n-\{p\}\cong\mathbb{R}^n$. A continuación, desde el punto de compactification conserva homeomorphisms entre conjuntos, se debe tener $S^n-\{p\}\cup\{p\}=S^n\cong\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}.$ En el texto que estoy leyendo, el punto de compactification añade $\infty$, para agregar un punto diferente, necesitamos confirmar que $S^n-\{p\}$ es localmente compacto Hausdorff espacio? De esa manera, se satisface la hipótesis de un único punto compactification?

Gracias por cualquier ayuda o comentarios!

Answer 1

En aras de la exhaustividad, yo era capaz de terminar la prueba correctamente y quería publicar.

Aquí está mi prueba:

Desde $h$ es bijective, $f(p)=\infty$$f^{-1}(\{\infty\})=p$, es claro que $f$ también es bijective. Debemos mostrar ese $f$ $f^{-1}$ son continuas. Para empezar, vamos a $O\subset\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}$ ser abierto. A continuación, $O\subset\mathbb{R}^n$ o $O=K^c\cup\{\infty\}$ para algunos compacto $K\subset\mathbb{R}^n$. Si $O\subset\mathbb{R}^n$$f^{-1}(O)=h^{-1}(O)$, que sabemos que está abierto desde $h$ es continua.

Ahora, si $O=K^c\cup\{\infty\}$, luego tenemos a $f^{-1}(O)=f^{-1}(K^c\cup\{\infty\})=f^{-1}(K^c)\cup f^{-1}(\{\infty\})=(f^{-1}(K))^c\cup\{p\}=(h^{-1}(K))^c\cup\{p\}.$ Desde $h:S^n-\{p\}\to\mathbb{R}^n$, $(h^{-1}(K))^c\subset S^n-\{p\}$ y por lo que tenemos que $f^{-1}(O)=S^n-h^{-1}(K)$, la cual es abierta porque $h^{-1}(K)$ es compacto, más específicamente cerrado y acotado, ya que $K$ es compacto y $h^{-1}$ es continua. Por lo tanto, $f$ es continua.

Para mostrar que $f^{-1}$ es continua, vamos a demostrar que para cualquier conjunto cerrado $C\subset S^n$ la imagen $f(C)$ es cerrado en $\mathbb{R}^n.$ Desde $S^n$ es compacto, $C$ debe ser compacto, así. Desde $f$ es continua, $f(C)$ también es compacto y debido a $\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}$ es Hausdorff, $f(C)$ debe estar cerrada. Por lo tanto, $f^{-1}$ es continua.

Answer 2

Si $X$ es un espacio compacto Hausdorff, $x ∈ X$, a continuación, abra los barrios de $x$ son precisamente los complementos de subconjuntos compactos de $X \setminus \{x\}$. Así que si $x$ no es aislado, a continuación, $X$ es el punto de compactification de $X \setminus \{x\}$. En nuestro caso, $S^n$ es el punto de compactification de $S^n \setminus \{p\}$, y por lo tanto el punto uno-compactification de $\mathbb{R}^n$, que iba a ser probado.