Para que los grupos no existencia de un subgrupo de primer índice $p$ implica la existencia de un subgrupo de orden $p$?

Question

Subgrupos y grupos cociente son cosas muy diferentes, pero al $G$ es finito y tiene un cociente de grupo $Q$ orden $p$ $p$ primer sabemos, a partir del teorema de Cauchy (o el más fuerte, la más famosa versión de Sylow) que $G$ también tiene un subgrupo $H$ orden $p$. (Aquí no tengo pretensiones en cuanto a los elementos de $H$ ser representantes de los elementos de $Q$ aunque los resultados en esa dirección sería bueno también)

Mi pregunta es: ¿hay una clase más general de los grupos que acaba de grupos finitos para que esta implicación (subgrupo de índice $p$ implica subgrupo de orden $p$) se mantiene?

El ejemplo de $\mathbb{Z}$, el infinito cíclico grupo muestra que esta propiedad no es automática, pero todavía soy cautelosamente optimista sobre topológicos compactos grupos. Y lo que se sabe acerca de la reductora algebraica de los grupos?

Answer 1

El $p$-ádico enteros son una torsión libre de topológicos compactos grupo con un cociente de orden $p$.