Las dos causas para el factor 2 en efecto Coriolis

Question

Mientras que la lectura de este documento sobre el efecto de Coriolis http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/gv219/classics.d/Persson98.pdf, vi la siguiente sentencia

Dos cinemática efectos contribuyen cada una con la mitad de la aceleración de Coriolis: velocidad relativa y el cambio de marco de referencia.

Y este es el motivo por el término de Coriolis tiene que el factor de $2$. Lamentablemente no se especifica nada acerca de estas dos causas. ¿Alguien tiene alguna explicación adicional de cómo la "velocidad relativa" y "giro de la trama" en realidad dan lugar a que el término de Coriolis?

Answer 1

Aquí es una manera de mirar a través de un dependiente de la velocidad potencial.$^1$ El potencial de Coriolis es

$$\etiqueta{1} U_{\rm cor} ~=~ -m({\bf v} \times {\bf \Omega})\cdot{\bf r} ~=~-{\bf v}\cdot ({\bf \Omega}\times{\bf r} ),$$

cf. Ref. 1. El factor de $2$ proviene de dos términos diferentes en la correspondiente fórmula de la fuerza

$$\etiqueta{2} {\bf F}~=~\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial U_{\rm cor}}{\partial {\bf v}} - \frac{\partial U_{\rm cor}}{\partial {\bf r}} ~\stackrel{(1)}{=}~m\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} ({\bf r}\times {\bf \Omega}) + m{\bf v} \times {\bf \Omega} ~\stackrel{\begin{matrix}\text{Leibniz}\\ \text{rule}\end{de la matriz}}{=}~\underbrace{2m {\bf v} \times {\bf \Omega}}_{\text{fuerza de Coriolis}} + \underbrace{m{\bf r} \times \dot{{\bf \Omega}}}_{\text{Euler fuerza}} .$$

Referencias:

1. L. D. Landau Y E. M. Lifshitz, Mecánica, vol. 1, (1976); $\S$39.

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$^1$ , Alternativamente, una escuela primaria derivación de la aceleración de Coriolis es dado en este Phys.SE post, donde el factor 2 que aparece a partir de un coeficiente binomial $\begin{pmatrix}2 \\1 \end{pmatrix}=2$ en una cruz de término.

Answer 2

Gratis partícula que se mueve en un plano en coordenadas polares

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cos \theta \\ r \sin \theta \end{pmatrix}$$

La velocidad se encuentra a partir de la regla de la cadena, con clara separación radial y tangencial componentes:

$$\begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} \begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix} $$

La aceleración se vuelve a encontrar por la diferenciación

$$ \begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \end{pmatrix} = \frac{{\rm d}\begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix}}{{\rm d}t} \begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix} + \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} \frac{{\rm d}\begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix}}{{\rm d}t}$$

$$ =\begin{vmatrix} 0 & -\dot{\theta} \\ \dot{\theta} & 0 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix}\begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix} + \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix}\begin{pmatrix} \ddot{r} \\ r \ddot{\theta}+\dot{r} \dot{\theta}\end{pmatrix} $$

$$ = \begin{vmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} \left[\begin{vmatrix} 0 & -\dot{\theta} \\ \dot{\theta} & 0 \end{vmatrix}\begin{pmatrix} \dot{r} \\ r \dot{\theta}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \ddot{r} \\ r \ddot{\theta}+\dot{r} \dot{\theta}\end{pmatrix}\right] $$

El de arriba es el primero de una matriz de rotación por $\theta$, entonces el efecto de la rotación sobre la (local) la velocidad y finalmente el (local) la aceleración. Aviso en la dirección radial de la aceleración local es sólo $\ddot{r}$, y en la dirección tangencial tiene dos términos. Uno es el de Euler, la aceleración de $r \ddot{\theta}$ y el otro 1/2 el término de coriolis. Esta parte es debido al cambio en la dirección de la velocidad radial.

$$ \begin{pmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \end{pmatrix} = ({\rm Rotation}) \left[ \begin{pmatrix} -r \dot{\theta}^2 \\ \dot{r} \dot{\theta} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \ddot{r} \\ r \ddot{\theta} + \dot{r} \dot{\theta} \end{pmatrix} \right] $$

Ahora, la primera parte $(-r \dot{\theta}^2, \dot{r} \dot{\theta} )$ contiene la aceleración centrífuga en la dirección radial y el cambio en la orientación de la tangencial de la aceleración, que es la otra mitad del efecto de coriolis.

Pero me parece que todo esta confuso. Prefiero mirar una imagen:

Los cambios en el vector de velocidad en coordenadas radiales (donde el centro de rotación está en el -x dirección. Los dos $\dot{r} \dot{\theta}$ términos en el término de coriolis son de una) de giro de $\dot{r}$ y b) la extensión de $r \dot{\theta}$.