Sobre la derivada de una función definida sobre números racionales

Question

He encontrado este problema:

Sea $f : \mathbb{Q} \mathbb{R}$ con propiedad: $$|f(x) f(y)| \le (x y)^2 \tag1$$ para todos $x, y \in \mathbb{Q}$ . Prueba $f$ es constante.

---

Mi idea es considerar la derivada formal de $f$ así:

$$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(x + h) - f(x)}{h}, h \in \mathbb{Q} $$

Utilizando (1) es fácil demostrar que el límite existe y es igual a $0$ para todos $x \in \mathbb{Q}$ . Así que $f$ tiene derivada y $f'(x)=0$ para todos $x \in \mathbb{Q}$ . De ello se deduce que $f$ es constante.

Por desgracia, no es tan sencillo porque: $$f'\equiv 0 \implies \ f \ constant \tag 2$$ es consecuencia de Teorema del valor medio que sólo es válido en intervalos reales.

Mi pregunta: es (2) válido para $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ ?

Obs. No necesito una prueba para el problema.

Answer 1

La versión deseada del Teorema del Valor Medio no es generalmente cierta para funciones $g:\mathbb Q\to \mathbb R$ . Para ver que considerar la función: $$g(x) = \begin{cases} 0, & \text{if $x<\pi$} \\ 1, & \text{if $x>\pi$} \end{cases}$$

Esa función tiene derivada $0$ en todas partes (ya que es localmente constante), pero no es una constante.

A tu problema:

Tenemos $$|f(x)-f(y)|=|f(x)-f\left(\frac {x+y}2\right)+f\left(\frac {x+y}2\right)-f(y)||f(x)-f\left(\frac {x+y}2\right)|+|f\left(\frac {x+y}2\right)-f(y)|$$ $$\frac {(x-y)^2}2$$

Repite esto utilizando la estimación más fuerte para ver que $$|f(x)-f(y)|\frac {(x-y)^2}4$$ e iterar para ver que ( $\forall n\in \mathbb N$ ) $$|f(x)-f(y)|\frac {(x-y)^2}{2^n}$$

Y como $n\to \infty$ vemos que $f(x)=f(y)$ .