Subgrupos isomorfos de$S_n$ y bijection de conjuntos

Question

$H_1,H_2$ son grupos de orden $128$, $X_1,X_2$ son conjuntos de fin de $8$ $H_i$ actos fielmente en $H_i$$i=1,2$. Demostrar que existe un isomorfismo de grupos de $\pi: H_1\to H_2$ y un bijection de conjuntos de $\phi:X_1\to X_2$, de modo que $\phi(g\cdot x)=\pi(g)\cdot\phi(x)$ todos los $g\in H_1$$x\in X_1$.

Por Sylow del teorema es fácil ver que $H_1,H_2$ son isomorfos. Pero parece difícil para mí expresar la solución de la segunda parte claramente.

Aquí está mi intento: Desde $H_1, H_2$ puede ser embebido en $S_8$ y son isomorfos, podemos identificarlos como un mismo subgrupo de $S_8$, decir $H$. A continuación, $H_i$ actúa en $X_i$ es lo mismo que $H$ actúa en $X_i$, lo que da el índice de los elementos de $X_i$$1$$8$, lo que induce un bijection $\phi: X_1\to X_2$, s.t. $\phi(h\cdot x)=h\cdot\phi(x)$, para cualquier $h\in H$. Por lo tanto, mediante la identificación de $h, g, \pi(g)$,$g\in H_1$,$\phi(g\cdot x)=\pi(g)\cdot\phi(x)$.

Otro intento: Desde $S_8$ $8$ ciclo, $H_1$ debe contener un $8$-ciclo, decir $g_1$. Definir $g_2=\pi(g_1)$, lo $g_2$ $8$- ciclo. Suponga $X_1=\{a_1,...,a_8\}$, con $g_1\cdot a_i\to a_{i+1}$, $g_1\cdot a_8\to a_{1}$. Y $X_2=\{b_1,...,b_8\}$, con $g_2\cdot b_i\to b_{i+1}$, $g_2\cdot b_8\to b_{1}$.

Definir $\phi:X_1\to X_2$, $a_i\mapsto b_i$. Esto implica que $\pi(g_1^n\cdot a_i)=g_2^n\cdot b_i=g_2^n\cdot\pi(a_i)$.

Supongamos ahora $x=a_i$, $g\cdot a_i=a_j$, por lo tanto $\phi(g\cdot a_i)=b_j$. Y $\phi(x)=\phi(a_i)=b_i$.

$g\cdot a_i=g_1^k\cdot a_i$, lo $\pi(g\cdot a_i)=\pi(g_1^k\cdot a_i)=g_2^k\cdot\pi(a_i)=\phi(g_1^k)\cdot\pi(a_i)$.

Pero no puedo ir más allá.

Answer 1

Las acciones de $H_i$ $X_i$ corresponden a homomorphisms $\alpha_i: H_i\to {\rm Sym}(X_i)$, y el hecho de que las acciones son fieles, dice que cada una de las $\alpha_i$ es inyectiva.

Deje $\tau:X_1 \to X_2$ ser arbitraria bijection. Esto induce un isomorfismo natural $\bar{\tau}: {\rm Sym}(X_1) \to {\rm Sym}(X_2)$, de tal manera que $\bar{\tau}(g)(\tau(x)) = \tau(g(x))$ todos los $x \in X_1$$g \in G_1$.

Ahora $\bar{\tau}(\alpha_1(H_1))$ $\alpha_2(H_2)$ ambos tienen el fin de $2^7$, por lo que son Sylow $2$-subgrupos de ${\rm Sym}(X_2)$. Por lo tanto son conjugado por un elemento $t \in {\rm Sym}(X_2)$; es decir,$t\bar{\tau}(\alpha_1(H_1))t^{-1} = \alpha_2(H_2)$.

Ahora podemos definir el isomorfismo $\pi:H_1 \to H_2$ $\pi(h_1) = h_2$ donde $t\bar{\tau}(\alpha_1(h_1))t^{-1} = \alpha_2(h_2)$.

Definimos la bijection $\phi:X_1 \to X_2$$\phi(x) = t\tau(x)$.

La condición que estamos tratando de demostrar que es, a continuación, $t\tau(\alpha_1(h_1)(x)) = \alpha_2(\pi(h_1))(t\tau(x))$ todos los $x \in X_1$$h_1 \in H_1$.

El lado derecho de la igualdad es $$t\bar{\tau}(\alpha_1(h_1))t^{-1}(t\tau(x))= t\bar{\tau}(\alpha_1(h_1))(\tau(x))= t\tau(\alpha_1(h_1)(x)),$$ como se requiere.

La idea de la prueba no es tan difícil - parecía de alguna manera, claro que $t\tau$ debe ser la equivalencia $\phi$ -, pero me tomó demasiado tiempo para obtener el derecho de detalles!