Es $\omega_1$ ¿Metrizable?

Question

Siguiendo el teorema de metrización de Urysohn, me gustaría demostrar o refutar que $\omega_1$ es metrizable. Sé que es hausdorff, pero no estoy seguro de si es o no contable en segundo lugar, y no sé cómo puedo demostrar o refutar que es contable en segundo lugar. Y si lo refuto, ¿me dirá que $\omega_1$ no es metrizable, o el teorema de Urysohn es sólo un "si" y no un "si"?

O quizás haya un teorema más cómodo de usar aquí para demostrar/desmentir $\omega_1$ ser metrizable?

Answer 1

(1) $\omega_1$ no sólo es Hausdorff, sino que es normal, como lo es todo conjunto linealmente ordenado en su topología de orden.

(2) $\omega_1$ no es segundo contable, porque los intervalos $[0,\alpha)$ para $\alpha\lt\omega_1$ son una cubierta abierta sin subcubierta contable.

(3) $\omega_1$ no es separable. La prueba: Sea S cualquier subconjunto contable de $\omega_1$ . Entonces $\sup S\lt\omega_1$ . Sea $\alpha=\sup S$ . Entonces $S$ es un subconjunto del conjunto cerrado $[0,\alpha]$ por lo que el cierre de $S$ es un subconjunto de $[0,\alpha]$ que es un subconjunto propio de $\omega_1$ Así que $S$ no es denso en $\omega_1$ .

(4) $\omega_1$ es secuencialmente compacto. Prueba: Toda secuencia en $\omega_1$ tiene una secuencia monótona, que converge.

(5) Si un espacio métrico no es separable, entonces no es secuencialmente compacto. La prueba: Sea $X$ sea un espacio métrico. Si $X$ no es separable, entonces para algún $\varepsilon\gt0$ existe un conjunto incontable de puntos tal que la distancia entre dos cualesquiera es al menos $\varepsilon$ . Una secuencia infinita de esos puntos no puede converger, y no puede tener una subsecuencia convergente. Por lo tanto, $X$ no es secuencialmente compacto.

De (3), (4) y (5) se deduce que $\omega_1$ no es metrizable. Es decir, si $\omega_1$ fuera metrizable, entonces, como por (3) no es separable, se seguiría por (5) que no es secuencialmente compacto, contradiciendo (4).