Métrica en el cubo unitario.

Question

Deje que$X$ sea$\mathbb{R}^3$ con la sup norma$\|\cdot\|_{\infty}$. Dejar $Y=\{x\in X: \|x\|_{\infty}=1\}$. Para que$x,y\in Y,y\neq -x$ defina$d(x,y)$ para que sea la longitud de arco de la ruta$$Y\cap \{\lambda x+\mu y: \lambda\ge 0, \mu\ge 0\}.$$ Define $ d (x, -x) = 4$. Note that the arc lengths are computed using the sup norm. My question is: Does $ d$ define a metric on $ Y $? Una pregunta relacionada fue respondida en el camino más corto en la esfera unitaria bajo$\|\cdot\|_\infty$

Answer 1

Una respuesta de los comentarios :

De hecho, la respuesta se puede encontrar en el enlace dado [ aquí - LF].

Deje:$$A=(1,3/4,1/4),\ B=(3/4,1,3/4),\ C=(1,1,1/2)\text{ and }M=(1,1,4/7).$ $ Entonces:$$d(A,C)=1/4,\ d(C,B)=1/4\text{ and }d(A,B)=d(A,M)+d(M,B)=4/7.$$ So $ d (A, C) + d (C, B) <d (A, B)$, proving that $ d $ no es un métrico.