Números irracionales, inducción.

Question

Yo tengo $\sqrt[3]{2}^{2^n}$.

¿Puedo probar que este número es irracional mostrando que$3$ no divide$2^n$?

Answer 1

Si $\dfrac{p}{q} = 2^{\frac{2^n}{3}}, (p,q) = 1 \Rightarrow \dfrac{p^3}{q^3} = 2^{2^n}\Rightarrow p^3=2^{2^n}q^3\Rightarrow 2\mid p^3\Rightarrow 2\mid p$. Ahora si$p = 2^k$, entonces$p^3 = 2^{3k} \Rightarrow q^3 = 2^{2^n-3k}$. Observar$3\nmid 2^k \Rightarrow 2^n - 3k \geq 1 \Rightarrow 2\mid q^3 \Rightarrow 2\mid q \Rightarrow (p,q) \geq 2 \neq 1$, contradicción. Por lo tanto, si$p = (2r+1)2^k \Rightarrow p^3 = (2k+1)^3\cdot 2^{3k} = 2^{2^n}q^3$. Ahora si$2^{3k} > 2^{2n} \Rightarrow q$ es par. Así,$(p,q) \geq 2 \neq 1$, contradicción. Y si$2^{3k} < 2^{2^n}$, entonces$(2k+1)^3$ es par, contradicción, ya que$2k+1$ es impar, también lo es su poder de cubo. Así,$\sqrt[3]{2^{2^n}}$ es irracional.

Answer 2

No puedo simplemente decir$3 \nmid 2$ y para n = k asumimos$3 \nmid 2^k$ así que para n = k +1 tenemos$2^{k+1}=2^k2$ y$3 \nmid 2$ y$3 \nmid 2^k$ tan $3 \nmid 2^{k+1}$?