Qué curva de Jordan de longitud $1$ maximiza la longitud esperada de una cuerda entre dos puntos elegidos uniformemente en ella?

Question

Para una curva de Jordan (suficientemente bonita) $\sigma :[0,1] \to \mathbb{R}^2$ con longitud unitaria y parametrización natural (con respecto a la longitud de arco), denotamos el valor esperado de la distancia entre dos puntos que se eligen del camino de forma independiente y uniforme por $c(\sigma)$ . Así que

$$c(\sigma) = \mathbb{E}[ \space|\sigma(T_1)- \sigma(T_2)| \space],$$

donde $T_1, T_2 \sim U([0,1])$ son independientes.

¿Qué camino maximiza $c$ ?

Por ejemplo, para $\sigma =$ círculo (de radio $\frac{1}{2\pi}$ para tener un perímetro unitario), $$c(\sigma) = \frac{2}{\pi^2}$$

( Se sabe que que para el círculo unitario obtenemos $\frac{4}{\pi}$ por lo que el escalamiento conduce al valor $\frac{2}{\pi^2}$ .)
¿Es el círculo la vía de maximización?

PS. Aquí está una pequeña aplicación para probar diferentes tipos de caminos. El círculo parecía ser el mejor entre todos los caminos que probé.

Answer 1

Estoy bastante seguro de que un segmento de línea recta es el camino de optimización.

Para entonces la longitud esperada parece ser $\frac{1}{3}$ (si mis cálculos son correctos), que es mucho mayor que $\frac{2}{\pi^2}$ .

Answer 2

Aquí hay un parcial tentativo respuesta a la pregunta revisada (en la que se ha sustituido "arco" por "curva"). Llamemos a la curva $u$ con $\|u'\| = 1$ es decir, está parametrizado por arclength.

Voy a dar un salto aquí, que es sustituir la expectativa de distancia con la expectativa de distancia al cuadrado . Esto es similar a la sustitución de la "longitud" por la "energía" al encontrar geodésicas en una variedad, pero sin mi copia de la Teoría de Morse aquí en casa, no puedo reproducir el argumento... así que mucho de lo que sigue puede ser incorrecto .

Ahora se puede trasladar la curva óptima para que su centro de masa esté en el origen, es decir, para que $$ \int_0^1 u(t) ~ dt = 0. $$

Lo que estamos optimizando es \begin{align} E(u) &= \int_0^1 \int_0 ^ 1 |u(t) - u(s)\|^2 ~ds ~dt \\ &= \int_0^1 \int_0 ^ 1 (u(t) - u(s)) \cdot (u(t) - u(s)) ~ds ~dt \\ &= \int_0^1 \int_0 ^ 1 u(t)\cdot u(t) - 2u(t) \cdot u(s)) + u(s) \cdot u(s) ~ds ~dt \\ &= \int_0^1 \int_0 ^ 1 u(t)\cdot u(t) ~ds ~dt - \int_0^1 \int_0 ^ 1 2u(t) \cdot u(s)) ~ds ~dt + \int_0^1 \int_0 ^ 1 u(s) \cdot u(s) ~ds ~dt \\ &= \int_0^1 u(t)\cdot u(t) ~dt - \int_0^1 \int_0 ^ 1 2u(t) \cdot u(s)) ~ds ~dt + \int_0 ^ 1 u(s) \cdot u(s) ~ds \end{align} El primer y el último término son iguales, por lo que se pueden combinar: \begin{align} E(u) &= \int_0^1 u(t)\cdot u(t) ~dt - \int_0^1 \int_0 ^ 1 2u(t) \cdot u(s)) ~ds ~dt + \int_0 ^ 1 u(s) \cdot u(s) ~ds \\ &= 2\int_0^1 u(t)\cdot u(t) ~dt - \int_0^1 \int_0 ^ 1 2u(t) \cdot u(s)) ~ds ~dt \\ &= 2\int_0^1 u(t)\cdot u(t) ~dt - 2\int_0^1 u(t) \cdot\int_0 ^ 1 u(s)) ~ds ~dt \\ &= 2\int_0^1 u(t)\cdot u(t) ~dt - 2\int_0^1 u(t) \cdot0 ~dt \\ &= 2\int_0^1 u(t)\cdot u(t) ~dt. \end{align}

Así que ahora el problema se reduce a esto:

Entre todos los bucles de longitud unitaria cuya media es el origen, ¿cuál maximiza $$ E(u) = \int_0^1 u(t)\cdot u(t) ~dt? $$

I sospechoso es un problema estándar de Calc. de Variaciones con el círculo como respuesta conocida, pero no puedo prometerlo.

En cualquier caso, ahí tienes al menos un intento de solucionar el problema.