Evaluación de $\int_{0}^{a} \frac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a-x}} dx$

Question

Evaluar :

$\int_{0}^{a} \frac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a-x}} dx$

Mi enfoque: he multiplicado ambos lados por $\sqrt{a+x}$ y tras la simplificación se reduce a :

$\int_{0}^{a} \frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx + \int_{0}^{a} \frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx$ denotemos por $I_1$ et $I_2$ respectivamente.

$I_1$ puede resolverse fácilmente en $a \sin ^{-1} \frac{x}{a}$ .

Si escribo $I_2$ como $ \frac{-1}{2}\int_{0}^{a} \frac{-2x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx$ Obtengo la solución como $\frac{a}{2}(\pi+1)$ pero la respuesta dada es $\frac{a}{2}(\pi+2)$ . ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

$$I_2=\frac{-1}{2} \int_0^a \frac{d(a^2-x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

dejar $a^2-x^2=t$ . Si $x=0,$ entonces $t=a^2$ y si $x=a,$ entonces $t=0$ .

Por lo tanto, $$I_2=\frac{-1}{2} \int_{a^2}^0 \frac{dt}{\sqrt{t}}$$ $$\Rightarrow I_2= \int_{0}^{a^2} \frac{dt}{2\sqrt{t}}$$ $$\Rightarrow I_2=a-0=a$$

Answer 2

Sugerencia: Poner $x=a \cos 2 \theta$ .

Answer 3

Dejemos que $a^2-x^2=t$ entonces $-2xdx=dt$ . Así, $$ \int_0^a \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=-\frac{1}{2}\int_{a^2}^0 \frac{1}{\sqrt{t}}dt =\left[\sqrt{t}\right]_0^{a^2}=a. $$

Answer 4

Así que para su solución:

$$I_2 = \int_{0}^{a} \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$$

Dejemos que $u = a^2 - x^2, du = -2x dx, dx = -\frac{1}{2x} du$ entonces está claro que

$$ I_2 = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} du = - \sqrt{u} $$

Ahora evaluando de nuevo a $x$ , $$ = - \sqrt{a^2 - x^2} | _0^a = - \sqrt{0} + \sqrt{a^2} = a$$

Yo recomendaría en contra, la expresión

$$ - \frac{1}{2} \int_{0}^{a} \frac{-2x}{\sqrt{a^2 - x^2 }} dx $$

Ya que realmente no facilita la integración.Pero si insistimos, de nuevo haciendo la sustitución $u = a^2 - x^2, dx = -\frac{1}{2x} du$ nos encontramos con que:

$$ - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} dx $$

Que se evalúa de la misma manera.

Answer 5

Supongamos que $a\in\mathbb{R}^+$

$$\int_{0}^{a}\frac{\sqrt{a+x}}{\sqrt{a-x}}\space\text{d}x=$$

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Sustituir $u=\sqrt{a+x}$ et $\text{d}u=\frac{1}{2\sqrt{a+x}}\space\text{d}x$ .

Esto da un nuevo límite inferior $u=\sqrt{a+0}=\sqrt{a}$ y el límite superior $u=\sqrt{a+a}=\sqrt{2a}$ :

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$$\int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{2a}}\frac{2u^2}{\sqrt{2a-u^2}}\space\text{d}u=2\int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{2a}}\frac{u^2}{\sqrt{2a-u^2}}\space\text{d}u=$$

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Sustituir $u=\sqrt{2a}\sin(s)$ et $\text{d}u=\sqrt{2a}\cos(s)\space\text{d}s$ .

Entonces $\sqrt{2a-u^2}=\sqrt{2a-2a\sin^2(s)}=\sqrt{2a}\cos(s)$ et $s=\arcsin\left(\frac{u}{\sqrt{2a}}\right)$ .

Esto da un nuevo límite inferior $s=\arcsin\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2a}}\right)=\frac{\pi}{4}$ y el límite superior $s=\arcsin\left(\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{2a}}\right)=\frac{\pi}{2}$ :

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$$4a\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(s)\space\text{d}s=4a\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{1}{2}-\frac{\cos(2s)}{2}\right]\space\text{d}s=$$ $$4a\left[\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}1\space\text{d}s-\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(2s)\space\text{d}s\right]=\frac{a(2+\pi)}{2}$$