Mostrar que un dominio integral es un PID si cumple dos condiciones

Question

Esto es sólo un libro de texto problema de Dummit y Foote, pero el problema es que nuestra clase apenas tocado en PIDs y el anterior material, así que realmente no sé o no entiendo mucho.

De todos modos,

Deje $R$ integrante de dominio. Si $R$ satisface lo siguiente:

yo. cualquiera de los dos distinto de cero $a,b \in R$ tienen un mcd en forma de $d=ra+sb, r,s \in R$

ii. Si $a_1, a_2,...$ son cero en $R$ tal que $a_{i+1}$ divide $a_i$ por cada $i$ $\exists N \in \mathbb{Z}$ tal que $a_n$ es una unidad de veces $a_N$ $\forall n \ge N$,

demostrar que $R$ es un director ideal de dominio.

De lo que he reunido, la segunda condición implica que $(a_1) \subset (a_2) \subset...$ y $(a_N) = (a_n)$ $\forall n \ge N$. Sin embargo, no estoy seguro de lo que debo hacer ahora. Estoy preocupado de que me falta el contexto necesario aquí, sobre todo desde que hemos utilizado Artin casi todo el semestre.

En resumen, mi pregunta es: ¿cómo debo proceder con esta prueba, dado lo que yo sé?

Answer 1

He aquí un giro ligeramente diferente.

1. Condición i) dice que dados cualesquiera dos elementos, $a,b$ existe $d$ tal que $(d)=(a,b)$. Por lo tanto, cada $2$generados ideal es principal.
2. Por inducción, puede utilizar el último punto a la conclusión de que cada finitely generado ideal de $R$ es la directora.
3. Condición ii) dice que $R$ satisface el ascendente de la cadena de condición en los principales ideales de la $R$, pero en vista de que el último punto podemos decir más: el ascendente de la cadena de condición para finitely generado ideales sostiene.
4. Esto nos permite mostrar en el hecho de que todos los ideales son finitely generado, por si un ideal $I$ tuvo un mínimo infinito electrógenos $x_1,x_2\dots$, $(x_1)\subset(x_1,x_2)\subset\dots(x_1,x_2,x_3\dots)$ sería estrictamente creciente de la cadena de finitely generado ideales, lo cual está prohibido por el último punto. Por lo tanto $I$ tenía que ser finitely generado para empezar con.
5. Pero ahora recuerdo que el finitely generado ideales son principales, por lo que todos los ideales son finitely generado y ahora director. Por lo tanto usted tiene un PID.

Answer 2

tal vez la clave sea que la condición 1 implica que cualquiera de los dos elementos de un ideal debe estar contenido en un ideal principal (de lo contrario, generan todo el anillo). Si todos los elementos están en este ideal principal, ya está hecho. de lo contrario, elija un elemento que no lo sea, y aplique el mismo procedimiento a este elemento y al generador del ideal principal del paso 1. La segunda condición está ahí para asegurarse de que este proceso finalmente se detenga.