Relación entre segunda cohomología y extensiones centrales.

Question

En Blumenhagen el texto sobre la teoría conforme de campos, después de deducir la central de extensión de la Witt álgebra, es decir, el álgebra de Virasoro,

$$[L_m,L_n] = (m-n)L_{m+n} + \frac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}$$

comenta que,

anteriormente hemos calculado el segundo cohomology grupo $H^2$ de los Witt álgebra...

Él va a decir que, en general, $H^2(\mathfrak g, \mathbb C)$ clasifica central extensiones de una Mentira álgebra, $\mathfrak g$. Mi pregunta es, probablemente, dos veces:

• Puede la declaración sobre la computación $H^2$ de los Witt álgebra ser más precisa?
• Hay una interpretación de la $H^2(\mathfrak g, \mathbb C)$ análoga a la imagen de cohomologies de colectores (es decir, el de Rham cohomology)? Más precisamente, hay una relación entre el$H^2(\mathfrak g, \mathbb C)$, y la de de Rham cohomology de la Mentira de grupo generado por $\mathfrak g$?

Answer 1

Que el centro de extensiones de una Mentira álgebra $\mathfrak{g}$ $\mathbb{R}$ están en bijection a la cohomology clases $$ H^2(\mathfrak{g},\mathbb{C}) := \{\theta : \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathbb{C}\mid \theta([u,v],w) + \theta ([v,w],u) + \theta([w,u],v) = 0 \land \theta(u,v) = -\theta(v,u)\}/{\sim}$$ donde $$ \theta\sim\theta' \iff \exists (b:\mathfrak{g}\to \mathbb{R}): \forall u,v,\in\mathfrak{g} : \theta'(u,v) = \theta(u,v)+b([u,v])$$ también se discute en este Q&A de la mina, donde yo también muestran que la razón central extensiones son relevantes en la física cuántica es que las representaciones relevantes de la mecánica cuántica son en realidad representaciones proyectivas, que están clasificados por unitario de representaciones de la central de extensiones. En general, usted puede reemplazar a $\mathbb{R}$ por cualquier otro $\mathfrak{g}$-módulo y obtener una clasificación de las extensiones por ese módulo en su lugar. Dependiendo de su definición exacta de "Mentira álgebra cohomology" es más o menos difícil ver que esta $H^2$ es en realidad la segunda Mentira álgebra cohomology, algunos podrían tomar como su definición.

Ahora, para la relación con el grupo de cohomology, tenga en cuenta que la extensión de $$ 0\to \mathbb{R}\to \mathfrak{g}' \to \mathfrak{g}\to 0$$ induce una extensión de los asociados simplemente conectado Mentira grupos $$ 1 \to \mathrm{U}(1)\to G' \to G \to 1$$ y $\mathrm{U}(1)$-paquetes de más de $G$ están clasificados por $H^2(G,\mathbb{Z})$, por lo que tenemos un bijection entre el$H^2(G,\mathbb{Z})$$H^2(\mathfrak{g},\mathbb{R})$, es decir, la "natural" mapa de la Mentira de álgebra de la Mentira de grupo cohomology tiene como su imagen, precisamente, la integral cohomology.

Por lo general, para $H^\bullet(G,\mathbb{R})$ $H^\bullet(\mathfrak{g},\mathbb{R})$ obtenemos la equivalencia en todos los órdenes por la observación de que la deRham cohomology de $G$ es el mismo que equivariant deRham cohomology, pero la equivariant formas en $G$ son básicamente el exterior álgebra en $\mathfrak{g}$ desde $\mathfrak{g}$ son los equivariant campos vectoriales en $G$, por lo que estos dos objetos son el mismo. Para un poco más de detalle, véase, por ejemplo, estas notas por Basu.