Denotar el mapa por $\phi: \mathbb C/\Lambda \to \mathbb P^{n-1}$.
Deje $H$ ser un hyperplane en $\mathbb P^{n-1}$, cortar por la ecuación
$a_1 X_1 + \cdots + a_n X_n = 0$.
La preimagen
$\phi^{-1}(H)$ es entonces igual a el subconjunto de puntos de $\mathbb C/\Lambda$ satisfacer la ecuación de $a_1 f_1 + \cdots a_n f_n = 0$.
Primero de todo, desde $n \geq 3$, Riemann--Roch dice que dados dos puntos cualesquiera
$u$ $v$ $\mathbb C/\Lambda$ , se puede elegir el$a_i$, de modo que
$u$ se encuentra en $\phi^{-1}(H)$ mientras $v$ no. Esto implica que $\phi$
es inyectiva. (Tenga en cuenta que aquí y a continuación voy a ser un poco descuidado el análisis de lo que sucede en el punto de $u = 0$ aquí donde tenemos que modificar la fórmula para
$\phi$; Les dejo estos detalles.)
De hecho, Riemmann--Roch también implica que podemos elegir $H$, de modo que
$a_1 f_1 + \cdots a_n f_n$ se desvanece, precisamente, a primer orden en cualquier punto de $u$. Esto demuestra que la imagen de $\phi$ es suave en $\phi(u)$; desde $u$ fue arbitraria, podemos ver que la imagen de $\phi$ es suave, y que, por ende, $\phi$ es una incrustación en su imagen. (He bosquejado, la verificación de que los $\phi$ "que separa a los puntos y los vectores de tangentes", que es la condición estándar para comprobar que un mapa definido en la forma de $\phi$ es un proyectiva de incrustación; esto es discutido por ejemplo, en Hartshorne el Capítulo 2, Sección 7, y también --- específicas en la
caso de curvas --- en la parte del Capítulo 4, que trata sobre las incrustaciones de curvas.)
Desde $\mathbb C/\Lambda$ es compacto, su imagen está cerrado analítica submanifold de $\mathbb P^{n-1}$, que es entonces necesariamente algebraicas (por Chow del teorema si te gusta, aunque también puede probar directamente, mostrando - - - - - - Riemann--Roch o por contacto directo de primaria argumentos --- que el $f_i$ necesariamente satisfacer muchas de relaciones algebraicas entre sí, de hecho muchos de los que la imagen de $\phi$ se corta por ecuaciones algebraicas. Una forma más sistemática para describir la situación, se nota que $\mathbb C/\Lambda$ tiene una estructura única de un algebraicas proyectivas
curva --- por ejemplo, la que viene de la ecuación de Weierstrass derivadas del caso $n = 3$ --- y con respecto a esta estructura, el $f_i$ son racionales funciones; el mapa de $\phi$ es una de morfismos de variedades algebraicas de$\mathbb C/\Lambda$$\mathbb P^{n-1}$; desde su origen es proyectiva, su imagen es necesariamente un cerrado subvariedad algebraica.)
Ahora todo lo que queda es para calcular el grado de la imagen de $\phi$. Para esto, tenemos que calcular el número de puntos de intersección de esta imagen con un genérico hyperplane $H$. Es decir, necesitamos determinar el tamaño de $\phi^{-1}(H)$. Pero este es el número de ceros de $a_1 f_1 + \cdots + a_n f_n$. Ya que esta función tiene un polo de orden $n$ (al menos si $a_n \neq 0$, que es el
genérico de la situación), se ha $n$ ceros, que será distinta genericaly,
y por lo $\phi^{-1}(H)$ genéricamente es de orden $n$.
Así, la imagen de $\phi$ tiene el grado $n$.
Si usted no está acostumbrado a este tipo de cálculos, es posible que desee ver en
algunos de los ejemplos y discusión del Capítulo 4 de Hartshorne. Lo que yo hice anteriormente es la manera estándar de análisis proyectivo incrustaciones de curvas, y en ese sentido es fácil (una vez que sabes cómo va).
