Función inversa a $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

Question

Dejemos que $f$ sea una función definida por $$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$ Encuentre $f^{-1}(x)$ . Dominio para $x$ es $R$

Mi intento,

Dejemos que $$f^{-1}(x)=a$$

$$x=f(a)$$

$$=\frac{e^a-e^{-a}}{2}$$

$$2x=e^a-e^{-a}$$

Dejemos que $$e^a=u$$

$$2x=u-u^{-1}$$

$$u^2-2xu-1=0$$

Resolver $u$ por la fórmula cuadrática.

$$u=x\pm \sqrt{x^2+1}$$

$$e^a=x\pm \sqrt{x^2+1}$$

$$a=\ln(x\pm \sqrt{x^2+1})$$

$$f^{-1}(x)=\ln(x\pm \sqrt{x^2+1})$$

Pero mi tutor dice que estoy equivocado. ¿Por qué?

Answer 1

Tal vez porque $x-\sqrt{x^2+1}<0$

Answer 2

Tu tutor quiere que encuentres la raíz correcta de tu ecuación. Evidentemente, si $f$ es biyectiva, sólo puede haber un respuesta. Tenga en cuenta que $x^2+1>x^2$ Así que $\sqrt{x^2+1}>\left|x\right|$ . Así que $x-\sqrt{x^2+1}<0$ lo que sea $x$ es (lo cual no puede ser correcto porque este es el valor de $e^a$ que tiene que ser positivo). Así que la respuesta correcta es $$f^{-1}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$$ a veces (¿en general?) se observa ${\rm Argsh}(x)$ .