Supongamos $\alpha = \omega + \omega^7 + \omega^{11}$ donde $\omega$ es una raíz primitiva de la unidad de la orden de 19. Quiero determinar el grupo de Galois de $\mathbb{Q}(\alpha) / \mathbb{Q}$. Debido a $\omega$ es una raíz primitiva de la unidad de la orden de 19, tenemos que $[\mathbb{Q}(\omega) : \mathbb{Q}] = 18$ y por lo tanto, el correspondiente grupo de Galois es $(\mathbb{Z}/ 19 \mathbb{Z})^{\times}$ . Si puedo probar ahora que $\mathbb{Q}(\alpha) = \mathbb{Q}(\omega)$, entonces el grupo de galois es $(\mathbb{Z}/ 19 \mathbb{Z})^{\times}$. Claramente, $\mathbb{Q}(\alpha) \subset \mathbb{Q}(\omega)$. Pero yo no estoy viendo por qué la inversa de la inclusión se mantiene, es decir, por qué $\omega$$\mathbb{Q}(\alpha)$. También he considerado la fórmula del producto $$[\mathbb{Q}(\omega) : \mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\omega) : \mathbb{Q}(\alpha)]\cdot[\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}],$$ so if I can prove that $[\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}] = 18$, hemos terminado, pero me parece que no puede terminar de esta línea de pensamiento. Alguna idea sobre cómo continuar? Cualquier ayuda sería muy apreciada.
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Crostul
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Para$k=1, \dots , 18$ denota por$\sigma_k$ el automorfismo de$\Bbb{Q}(\omega)$ actuando como$\omega \mapsto \omega^{k}$. Entonces$$\sigma_2(\alpha)= \omega^2+\omega^3+\omega^{14} = \sigma_3(\alpha) = \sigma_{14}(\alpha)$ $
Así que el polinomio$f_{\alpha}=\prod_k (x- \sigma_k(\alpha))$ tiene una raíz múltiple. En particular,$f_{\alpha}$ es una potencia del polinomio mínimo de$\alpha$, así que$\Bbb{Q}(\omega) \neq \Bbb{Q}(\alpha)$.
Le sugiero que calcule otros elementos conjugados de$\alpha$ y que vea cuántos de ellos son iguales. En mi opinión, deberíamos tener ese$$[\Bbb{Q}(\omega) : \Bbb{Q}(\alpha)] = 3$ $
