El comportamiento de:

Question

Lo que está pasando con el comportamiento de la subfactorial la parte imaginaria? Antecedentes: por curiosidad he intentado construir algunas relaciones de recurrencia utilizando el símbolo de Pochhammer y de aquellos que vinieron algunos subfactorials. Por ejemplo:

$$a_{n+1}=a_n+(3)_n=a_n+3(3+1)(3+2)...(3+n-1).$$

Mathematica me dio:

$a_n$ = $1/2 (-1)^n$ Gamma[$n+3$] Subfactorial[$-n-3$]$-$Subfactorial[$-3$].

No se ha visto visto negativa subfactorials antes busqué en google "negativo subfactorial" o "subfactorial de números negativos" y algunas frases similares, que dio a 0 hits. He aquí una sinopsis:

Yo también se representa la función Gamma (sólo para tener algo que se relacionan). Así, no entiendo el comportamiento de la parte imaginaria. Mirando más de cerca a los valores de $\operatorname{Im}(!n)$ parece que

$$\sum _{n=-\infty}^0 \operatorname{Im}(!n)=-\frac{\pi}{e^2}.$$

Alguien que pueda arrojar algo de luz sobre esto? Algunos intuición? La mejora en los métodos de visualización?

Answer 1

Mathematica obviamente define subfactorial (cf. Eq. $(4)$ aquí) de cualquier número complejo a$s$como $$ !s=\frac{\Gamma(s+1,-1)}{e},\tag1 $$ donde $\Gamma(s,z)$ es la parte superior de la función gamma incompleta. La expresión para el la función de número entero negativo $s$ se puede encontrar aquí y lee para $z=-1$: $$ \Gamma(-n,-1) =\frac{(-1)^{n+1}}{n!}\a la izquierda[i\pi+\operatorname{Ei}(1)-e\sum_{k=0}^{n-1}k!\a la derecha],\tag2 $$ donde $\operatorname{Ei}(z)$ es la integral exponencial.

Por lo tanto, $$ \operatorname{Im}\; !(-n)=\frac{(-1)^{n}}{(n-1)!}\frac\pi e $$ y la suma de la fórmula: $$ \sum_{n=1}^\infty \operatorname{Im}\; !(-n)=-\frac{\pi}{e^2} $$ inmediatamente a continuación.