Me pregunto si hay propiedades / restricciones generales para las posibles topologías de un grupo libre (para convertirlo en un grupo topológico ofc). Más generalmente, ¿existen tales restricciones para cualquier grupo escrito como presentación?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Splanky222
Puntos
26
Un interesante "restricción" es que si quieres la topología localmente compacto Hausdorff o provienen de una completa métrica, a continuación, la topología tendrá que ser la topología discreta. Este seguimiento de los resultados en la Continuidad de homomorphisms por Dudley, donde demuestra automática "continuidad" de los resultados para ciertos tipos de grupos.
Una ligera simplificación es que si tenemos el $G \to F$ un grupo homomorphism, donde $F$ es gratis con la topología discreta y $G$ tiene una buena topología, como ser localmente compacto Hausdorff, entonces el homomorphism es automáticamente continua.
Mediante esto podemos suponer que $(F,\tau)$ es una de estas topologías. A continuación, $$Id:(F, \tau) \to F$$ es continua por Dudley automático de la continuidad de los resultados, lo que significa que $\tau$ tuvo que ser discretos topoology.
Una consecuencia de esto es que $F_\mathfrak{c}$, el grupo libre en el continuum de muchos generadores, no puede ser hecho en un grupo polaco. Pero $F_\mathfrak{c}$ obviamente tiene cocientes de lo que puede ser hecho polaco, cualquier contables cociente o el grupo de los números reales.
Tenga en cuenta que $F_n$ puede ser dado no localmente compacto Hausdorff topolgies mediante la incorporación de $F_n$ agradable en grupos como la Mentira de los grupos y ser denso en ellos(relativa a la YCor del comentario). Estos topolgies se "parezca" $\mathbb Q$.
Con eso en mente hay finitely generado grupos que no tienen Hausdorff topología del grupo, además de la topología discreta(por lo tanto, los cocientes de libre grupos). El papel En topologizable y no topologizable grupos realidad demuestra que hay un montón de satisfacciones aún más propiedades.
Shinwari
Puntos
11
Libre de grupos residual finito: para todos los $g\in F$ existe un homomorphism $\phi_g: F\rightarrow H_g$ donde $H_g$ es finito y $\phi_g(g)\neq1$. Lo que el siguiente que dice es que podemos equipar a $F$ (y, más en general, cualquier residual finito grupo) con un natural de la topología, la "profinite topología", y la construcción de un grupo, su "profinite finalización" $\widehat{F}$, de tal manera que $F\hookrightarrow \widehat{F}$ es un monomorphism topológico de los grupos (por lo que la topología en $F$ es heredado de la topología en $\widehat{F}$).
El profinite topología de un grupo de $G$ toma como base de abrir los conjuntos finitos índice de abrir los subgrupos de $G$. A continuación, $G$ es residual finito si y sólo si su profinite topología es Hausdorff.
El profinite de finalización de la $\widehat{G}$ de un grupo de $G$ es el límite inversa de los grupos $G/N$, donde $N$ se ejecuta a través de la normal subgrupos en $G$ de índice finito (estos subgrupos son normales parcialmente ordenado por la inclusión, lo que se traduce en una inversa sistema natural de homomorphisms entre los cocientes: $$\{f_{i,j}: G/N_j \to G/N_i \mid i, j \in I, i \le j\}.$$ Formalmente, el profinite de finalización es el siguiente: $$ \begin{align*} \widehat{G}&:= \lim_{\leftarrow}{G/N_i}\\ &= \left\{ (gN_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} G/N_i \:\:\middle|\:\: f_{i, j} (g_j) = g_i \text{ for all } j \ge i \right\}. \end{align*} $$ Otorgar a $\widehat{G}$ una topología de la siguiente manera: dé a cada $G/N$ la topología discreta, el producto, el producto de la topología, y la proyectiva límite de la restricción de la topología. Tenga en cuenta que hay una natural homomorphism $\phi: G\rightarrow \widehat{G}$. A continuación, $G$ es residual finito si y sólo si $\phi$ es una inyección.
Supongamos $G$ es residual finito (por ejemplo, $G$ ser libres), y dotarla de la profinite topología. A continuación, $\phi$ es continua. Como es una incrustación, $G$ hereda la profinite topología de su profinite de finalización de la $\widehat{G}$.
La atención a la gente acerca de profinite cosas. Por ejemplo, Grothendieck preguntó, aproximadamente, la siguiente pregunta: ¿ $\widehat{G_1}\cong\widehat{G_2}$ implican $G_1\cong G_2$ (en forma natural)? La respuesta es no, como se ha demostrado en Martin R. Bridson y Fritz J. Grunewald, Grothendieck los problemas relativos a profinite terminaciones y representaciones de grupos, Ann. Math., 160 (2004), 359-373 (enlace).
