Aplicación de cálculo funcional al operador delimitado$(T \pm iI)^{-1} $

Question

Este es el contexto: Lo que yo deseo de probar:

2.3 en la página 16. Deje $T$ ser esencialmente auto-adjunto del operador en un espacio de Hilbert $H$. (Ahora tomamos su cierre) Hay un único homomoprhism de $C^*$ álgebra de operadores del álgebra de continua, acotada de funciones en $\Bbb R$ en el álgebra de operadores acotados en $H$ que asigna las funciones de $(x \pm i)^{-1}$ a los operadores de $(T \pm iI)^{-1}$.

He comprobado que $T$ satisfacer la condición implica la $(T\pm iI)^{-1}$ es un operador acotado normal del operador.

La prueba dada en el texto es como sigue.

El teorema espectral es demostrado por la observación de $(T\pm iI)^{-1}$ generar un conmutativa $C^*$ algebra de los operadores. Por Gelfand Naimark teorema, cada conmutativa $C^*$-álgebra es isomoprhic a $C_0(X)$ para algunas localmente compacto espacio de $X$.

** En este caso, $X$ puede ser identificado con un subconjunto cerrado de $\Bbb R$ (el espectro de $T$) de tal manera que los operadores de $(T\pm i I)^{-1}$ corresponden a las funciones $(x \pm iI)^{-1}$.

Yo estoy bien hasta que $**$. No veo cómo la identificación de las obras, especialmente cuando estamos aplicando a $(T+ I)^{-1}$, por lo que el GN debemos tener isomoprhism con $C(\sigma( (T + iI)^{-1})$.

Answer 1

Esencialmente auto-adjunto significa que el cierre de $T$ es selfadjoint, y que no implica que $(T\pm iI)$ son surjective, que te deja el trato con operadores acotados $(T\pm iI)^{-1}$ que no están en todas partes definidas. Entonces, eso es un poco molesto para tratar con él, y voy a suponer que $T$ es selfadjoint para que $(T\pm iI)^{-1}$ están en $\mathcal{L}(H)$.

Cada $(T-\lambda I)^{-1}$ para los no-real $\lambda$ está definido y delimitado, y se encuentra en la $C^*$ álgebra generada por $(T\pm iI)^{-1}$. Por ejemplo, si $|\lambda-i| < 1$, luego $$ (T-\lambda I)^{-1}=(T-iI+(i-\lambda)I)^{-1} \\ = (I+(i-\lambda)(T-iI)^{-1})^{-1}(T-iI)^{-1} \\ = \sum_{n=0}^{\infty}(\lambda i)^n(T-iI)^{n-1}. $$ A continuación, puede repetir el proceso para obtener el resolvent para $|\lambda-2i| < 2$, y finalmente todos los $(T-\lambda I)^{-1}$ para $\Im\lambda >0$. Lo mismo es cierto para $\Im\lambda < 0$. Lo mismo vale para los $(T-\lambda I)^{-1}$ para $\Im\lambda < 0$.

Si $f$ es una función continua en a$\mathbb{R}$ que se desvanece en $\infty$, entonces la integral de Poisson $$ f_{v}(u)=\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\left[\frac{1}{t-u-iv}-\frac{1}{t-u+iv}\right]dt \\ = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\frac{(t-u)}{(t-u)^2+v^2}dt $$ converge uniformemente a $f$ como $v\downarrow 0$. Utilizando los resultados del apartado anterior, $f_v(T)$ es en el $C^*$ álgebra generada por $(T\pm iI)^{-1}$. Esto es fácilmente extendido para lidiar con las funciones de $f$ que tiene un no-cero límite en $\infty$. Yo no creo que el general delimitada funciones continuas $f$ puede trabajar porque el comportamiento en $\infty$. Pero todo funciona si $f$ tiene un no-cero cero o límite en $\infty$; es decir, $f(T)$ es en el $C^*$ álgebra generada por $(T\pm iI)^{-1}$ si $f$ es continua en a$\mathbb{R}$ y tiene un límite en $\infty$.