PS
La respuesta debe ser $$ \int\limits_{0}^{1} \frac{\arcsin{x}}{x} dx $
He intentado varias sustituciones que no funcionaron y también pensé en algunas expansiones de la serie.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- Calcular integrales $\int_0^1 {\frac{{\arcsin x}}{x}dx} $ (3 respuestas )
Respuesta
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Proceda de la siguiente manera:
PS
por la sustitución $$I:=\int_{0}^{1}\frac{\arcsin (x)}{x}dx=\int_{0}^{\pi/2}t\cot (t)dt$ . A continuación, integrando por partes obtenemos
PS
Sin embargo, la última integral es muy conocida y su valor es $t=\arcsin(x)$ . Por lo tanto $$I=t\cdot\ln\sin(t)\biggr|_{0}^{\pi/2}-\int_{0}^{\pi/2}\ln (\sin(t))dt.$ $
