Considerar las verdaderas secuencias de $(a_n) _{n\ge 1}$,$(b_n) _{n\ge 1}$,$(c_n) _{n\ge 1}$ e $p_n(x) =(x-a_n) (x-b_n) (x-c_n)$. Probar que si $p_n(x) $ converge para una infinidad de valores de $x$, luego converge $\forall x\in \mathbb{R} $.
Mi idea era considerar el conjunto $M=\{x\in \mathbb{R}| \lim\limits_{n\to \infty} p_n(x) \in \mathbb{R} \} $. Obviamente, existen $a=\sup M$ e $=\inf M$. A partir de aquí, creo que debería probar que $a=\infty$ e $b=-\infty$ o que $p_n(x) $ es limitado y, a continuación, utilizar esto de alguna manera. De todos modos, yo no puedo hacer ningún progreso en esta.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El objetivo es mostrar que los coeficientes de los polinomios convergen (no necesariamente las secuencias $a_n$, $b_n$, $c_n$ ). Esto también se sugirió anteriormente en los comentarios por @Helmut.
Todo lo que necesitamos es tener tres puntos distintos donde $p_n$ converge.
Expandir el producto en la definición de $p_n$ y escribir $$ \etiqueta{P} p_n(x) = x^3 - (a_n + b_n + c_n) x^2 + (a_n b_n + a_n c_n + b_n c_n ) x - a_n b_n c_n. $$ Denotar $a_n + b_n + c_n := A_n$ e $a_n b_n + a_n c_n + b_n c_n := B_n$. Ahora, vamos a $x_1, x_2, x_3$ ser todos los pares de puntos distintos donde $p_n$ converge. En particular, la secuencia $$ p_n(x_1) - p_n(x_2) = x_1^3 - x_2^3 - A_n (x_1^2 - x_2^2) + B_n(x_1 - x_2) = \\(x_1 - x_2)[ x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 - A_n (x_1 + x_2) + B_n] $$ converge como una diferencia de dos secuencias convergentes. Desde $x_1 \neq x_2$ obtenemos que $$ \etiqueta{1} x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 - A_n (x_1 + x_2) + B_n $$ converge. Observe que en $(1)$ $x_1 $ e $x_2$ puede ser sustituido por $x_2$ e $x_3$, por lo tanto también conseguimos que $$ \etiqueta{2} x_2^2 + x_2x_3 + x_2^2 - A_n (x_2 + x_3) + B_n $$ converge así. Tomando la diferencia de $(1)$ e $(2)$ y soltando la constante (con respecto a $n$) expresión que involucran sólo a $x_1,x_2,x_3$ obtenemos que $$ A_n (x_2 + x_3 - x_1 - x_2) = A_n(x_3 - x_1) $$ converge. Desde $x_1\neq x_3$ se desprende de la última igualdad se $A_n $ converge, por lo tanto volviendo a $(1)$ se sigue que $B_n$ es también convergente. Por último, volviendo a $(P)$ - la ecuación original de $p_n$, y el uso que converge en $x_1$, junto con la convergencia de $A_n$ e $B_n$ tenemos que $a_nb_nc_n$ es también convergente.
Hemos demostrado que todos los coeficientes en $(P)$ convergen, por lo tanto $p_n(x)$ converge para cualquier $x\in \mathbb{R}$.
