$|x_{n + 1} - x_n| < \frac{1}{2^n} \Rightarrow (x_n)$ es Cauchy

Question

Dejemos que $(x_n)$ sea una secuencia real con la propiedad de que para todo $n \in \mathbb{N}$ , $$|x_{n + 1} - x_n| < \frac{1}{2^n}$$ Quiero demostrar, usando la definición de una secuencia de Cauchy, que $(x_n)$ debe ser Cauchy.

He comprobado que la propiedad implica que para cualquier $(m, n) \in \mathbb{R}^2$ suponiendo, sin pérdida de generalidad, que $m > n$ debe ser cierto que $$|x_n - x_m| \leq \sum\limits_{i = n}^m \frac{1}{2^i}$$

¿Cómo puedo proceder a partir de ahí? ¿Es esta la forma correcta de abordar este problema?

Answer 1

Aquí hay un argumento ligeramente diferente que no se presenta en los duplicados enlazados:

• $s_n = \sum_{k=1}^{n}(x_k - x_{k-1}) = x_n - x_0$ es (absolutamente) convergente
• $\Rightarrow x_n = s_n + x_0$ es convergente
• las secuencias convergentes son secuencias de Cauchy