$\operatorname{Frac}(A)/A$ como $A$ -Módulo

Question

Me pregunto sobre una cuestión:

Sabemos que $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es el grupo de torsión y $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}=\bigoplus_{p\text{ prime}}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(p)$ donde $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(p)=\{\bar{\frac{a}{p^{\alpha}}\mid a\wedge p=1 \text{ and } \alpha\in\mathbb{N}}\}$

¿Podemos generalizar este resultado de la siguiente manera?

Dejemos que $A$ sea un anillo. Considere $\operatorname{Frac}(A)/A$ como $A$ -módulo, demostré que $\operatorname{Frac}(A)/A$ es un módulo de torsión como el que hacemos en $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ . Quiero demostrar que es suma directa de algo que es una generalización de los primos. Pienso en el ideal coprimo, pero no puedo encontrar un resultado similar.

Mi pregunta es: ¿es válida esta generalización o no, y si es así podemos construir submódulos que den el módulo completo a través de la suma directa?

Answer 1

Definiciones y observaciones: Dejemos que $D$ sea un dominio integral.

1. $D$ se denomina dominio de Bézout si satisface una de las dos condiciones equivalentes siguientes:

(a) Todo ideal finitamente generado de $D$ es un ideal principal.

(b) Para todos los $d_1,...,d_n \in D$ con $ d = \gcd(d_1,...,d_n)$ existe $a_1,...,a_n \in D$ tal que $d = a_1d_1 + ... + a_nd_n$ .

2. $D$ se llama atómica si cada elemento no nulo $a \in D$ (que no es una unidad) tiene una descomposición finita $a = a_1...a_n$ en elementos irreducibles $a_1,...,a_n \in D$ . Si $P$ es un sistema completo de representantes de elementos irreducibles en $D$ con respecto a los asociados, entonces cada $a \in D$ tiene una descomposición $a = \varepsilon p_1^{e_1}...p_n^{e_n}$ donde $\varepsilon \in D^\times$ , $p_i \in P$ y $e_i \in \mathbb{N}$ .
3. Si $D$ es un dominio de factorización único, entonces $D$ es atómico y cada elemento irreducible de $D$ es primo. Además, la descomposición en (2) es única hasta la reordenación.

En la siguiente $D$ denota un dominio integral con campo cotizante $K$ . $P \subseteq D$ es un sistema completo de representantes de elementos irreducibles en $D$ con respecto a los asociados. \ Para cada $p \in P$ denotamos $D_{[p]} = \{ \frac{a}{p^n} | a \in D, n \in \mathbb{N}_0 \}$ . $D_{[p]}$ es la localización de $D$ en el subconjunto cerrado multiplicativo $[p] = \{ p^n | n \in \mathbb{N}_0 \}$ y por lo tanto es un subring de $K$ que contiene $D$ y, en particular, un $D$ -submódulo de $K$ .

Lema: Dejemos que $D$ sea un dominio de factorización único y $p_1,...,p_n \in P$ tal que $p_i \neq p_j$ para $i \neq j$ . Entonces, para todos los $a_1,...,a_n \in D$ con $\gcd(a_i,p_i) = 1$ y $e_1,...,e_n \in \mathbb{N}_0$ tal que $\frac{a_1}{p_1^{e_1}} + ... + \frac{a_n}{p_n^{e_n}} \in D$ se deduce que $e_1 = ... = e_n = 0$ . En particular, tenemos una suma directa $\bigoplus_{p \in P}(D_{[p]}/D)$ .

Prueba: Dejemos que $ \frac{a_1}{p_1^{e_1}} + ... + \frac{a_n}{p_n^{e_n}} = d \in D$ . Entonces tenemos $a_1 \prod_{i \neq 1} p_i^{e_i} = d \prod p_i^{e_i} - a_2 \prod_{i \neq 2} p_i^{e_i} - ... - a_n \prod_{i \neq n} p_i^{e_i}$ . Como el lado derecho es divisible por $p_1^{e_1}$ , también lo es el lado izquierdo. Pero como la descomposición en elementos primos es única en un UFD y asumimos $\gcd(a_1,p_1)$ para ser $1$ el lado izquierdo no es divisible por $p_1$ , lo que implica $e_1 = 0$ . Proceda de forma análoga para $e_2 = ... = e_n = 0$ .

Lema: Dejemos que $D$ sea un dominio de Bézout que sea también un dominio de factorización único. Entonces cada $k \in K$ tiene una descomposición $k = \frac{a_1}{p_1^{e_1}} + ... + \frac{a_n}{p_n^{e_n}}$ , donde $a_i \in D$ , $p_i \in P$ y $e_i \in \mathbb{N}_0$ . En particular $K = \sum_{p \in P}D_{[p]}$ y $K/D = \sum_{p \in P}(D_{[p]}/D)$ .

Prueba: Dejemos que $k = \frac{a}{b} \in K$ , donde $a \in D$ y $b \in D \setminus \{ 0 \}$ . Entonces $b$ tiene una descomposición $b = \varepsilon p_1^{e_1} ... p_n^{e_n}$ , donde $\varepsilon \in D^\times$ , $e_i \in \mathbb{N}$ y $p_i \in P$ . Desde $D$ es un dominio de factorización único $\gcd(\prod_{i \neq 1} p_i, ... ,\prod_{i \neq n} p_i) = 1$ . Desde $D$ es Bézout, existe $ d_1,...,d_n \in D$ tal que $1 = d_1 \prod_{i \neq 1} p_i + ... + d_n \prod_{i \neq n} p_i$ . Así que tenemos $\varepsilon^{-1}a = \varepsilon^{-1} a d_1 \prod_{i \neq 1} p_i + ... + \varepsilon^{-1} a d_n \prod_{i \neq n} p_i$ . Si ahora ponemos $a_i = \varepsilon^{-1} a d_i$ Esto lleva fácilmente a $\frac{a_1}{p_1^{e_1}} + ... + \frac{a_n}{p_n^{e_n}} = \frac{a}{b}$ .

Corolario: Dejemos que $D$ sea un dominio de Bézout que sea también un dominio de factorización único. Entonces $K/D = \bigoplus_{p \in P}(D_{[p]}/D)$ .

Finalmente, para ver que los supuestos de la Lemmata son estrictamente más débiles que los euclidianos y que no son redundantes (al menos para la prueba que he dado), quiero dar algunos ejemplos:

1. $\mathbb{Z}[\sqrt{-19}]$ es un PID (así que UFD y Bézout) pero no es euclidiano.
2. El anillo de todos los polinomios racionales con término constante entero $\mathbb{Z} + x \mathbb{Q}[x]$ es Bézout pero no un PID.
3. $\mathbb{Z}[x]$ es un UFD pero no Bézout.

Tal vez haya una posibilidad de generalizar estas observaciones a los dominios de Krull o a los dominios de Prüfer, siendo los primeros (en cierto sentido) cercanos a los UFD, como los segundos a los dominios de Bézout. Pero como un dominio de Prüfer noetheriano nunca puede ser Krull (y uno puede querer utilizar las buenas propiedades de ambas clases de anillos), podría ser fructífero intentarlo para los dominios Dedekind.