Partes fraccionarias de raíces cuadradas de primos.

Question

Para evitar la confusión con otros usos de los aparatos, deje $F:\Bbb R\to[0,1)$ la parte fraccionaria de la función (generalmente se nota como $\{\cdot\}$), por lo $F(x)=x-\lfloor x\rfloor$.

Es conocido que el conjunto de $S:=\{F(\sqrt n):n\in\Bbb N\}$ es denso en $[0,1]$, debido a $S$ contiene, por ejemplo, $\{F(n\sqrt 2):n\in\Bbb N\}$.

Pero es el conjunto $$\{F(\sqrt p):p\text{ prime}\}$$ también denso en $[0,1)$? Yo había estado pensando en él, y mi intuición me dice que lo es, pero estoy ni idea acerca de cómo demostrarlo. (De hecho, no estoy seguro de que la mayoría de las etiquetas apropiadas para esta pregunta).

Answer 1

Para $\Re(z) > 0$ deje $$g(z)=\sum_p e^{-p^{1/2}z} = \sum_{n \ge 2} \pi(n)(e^{-n^{1/2}z}-e^{-(n+1)^{1/2}z})=\sum_{n \ge 2} \frac{n}{\ln n}(1+o(1))e^{-n^{1/2}z} n^{-1/2}(1+o(1)) $ $

El punto es que para cualquier $y \ne 0$ fijo entonces $$|g(x+2i\pi y)|\le g(x) \qquad and \qquad g(x+2i\pi y) = o(g(x)) \qquad as\quad x\to 0^+$ $

Para cualquier $\phi(y) = \sum_k \hat{\phi}(k)e^{2i\pi k y}$ suave $1$ -periódico entonces

PS