No, no siempre es suficiente. Considerar el Lamplighter grupo. Esto tiene dos generadores, $a$ e $t$, lo que representa transformaciones de funciones $f:\mathbb Z\to \{0,1\}$.
$a$ cambios en el valor de $f(0)$, y deja todos los demás de la misma.
$t$ cambios de la secuencia, sustituyendo $n\mapsto f(n)$ con $n\mapsto f(n+1)$.
Deje $H$ ser el subgrupo generado por a$a,t^{-1}at^{},t^{-2}at^{2},\dots$ puede comprobar que $t^{-1}Ht\subseteq H$, e $a^{-1}Ha=H$. Desde $a,t$ genera el grupo, su condición implicaría $H$ fue normal. Sin embargo, $tat^{-1}\notin H$.
Sin embargo, esta modificación de la afirmación es verdadera.
Si $S$ genera $G$ e $T$ genera $H$, e $\forall s\in S,t\in T$ hemos
\begin{align}s^{-1}ts\in H\quad \text{and} \quad sts^{-1}\in H,\end{align} , a continuación, $H$ es normal en $G$.
Prueba de La condición implica, además, $s^{-1}t^{-1}s=(s^{-1}ts)^{-1}\in H$ así.
Siguiente, para todos los $s\in S$, $h\in H$, tenemos $s^{-1}hs\in H$ e $shs^{-1}\in H$. Para ver esto, escriba $h=t_1t_2\dots t_n$ con cada una de las $t_i\in T$ o $t_{i}^{-1}\in T$. Entonces
$$
s^{-1}hs=(s^{-1}t_1s)(s^{-1}t_2s)\cdots (s^{-1}t_ns)\in H
$$
dado que todos los factores están en $H$. Lo mismo va para $shs^{-1}$.
Ahora bien, dado $g\in G$, $h\in H$, podemos escribir $g=s_1s_2,\dots,s_n$, en donde el $s_i\in S$ o $s_i^{-1}\in S$. Ahora, definir una secuencia $h_0,h_1,\dots, h_n$ por
$h_0 = h$.
$h_{i+1} = s_{i+1}^{-1}h_{i} s_{i+1}$ para $i=0,1,2,\dots,n-1$.
Podemos probar por inducción, y el uso de los hechos $s^{-1}hs\in H$ e $shs^{-1}\in H$ para todos los $h\in H$que $h_{i}\in H$ por cada $i$. Pero $h_n=s_n^{-1}\dots s_2^{-1}s_1^{-1}hs_1s_2\dots s_{n}=g^{-1}hg$,
así que hemos terminado.
