El razonamiento circular en la regla de L'Hopital.

Question

Supongamos que tenemos una función de $f(x)$ que satisface: $$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$$ Donde $L\in\mathbb{R}$. ¿Es esto cierto? $$\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$$

Mi enfoque era simplemente esto:

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{xf(x)}{x}=L$$

Y aplicando la regla de L'Hospital de tenemos:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{xf(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)+xf'(x)}{1}=L$$ $$\lim_{x\to\infty}f(x)+xf'(x)=L+\lim_{x\to\infty}xf'(x)=L$$ Y por último: $$\lim_{x\to\infty}xf'(x)=0$$ Ahora, la única manera en que esto es posible es si $\lim_{x\to\infty}f'(x)\neq\infty$ e $\lim_{x\to\infty}f'(x)\neq A\in\mathbb{R}$ , debido a que otherways la $\lim_{x\to\infty}xf'(x)$ iría hasta el infinito. En conclusión, $\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$

Es este razonamiento circular? Estoy especialmente preocupado acerca de la parte que cuando aplicamos la L'Hospital de la regla.

Answer 1

Supongamos que $f(x)=\dfrac{\sin(x^2)}x$ . Luego $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ , pero el límite $\lim_{x\to\infty}f'(x)$ no existe.

Si intenta aplicar la Regla de L'Hopital aquí como lo hizo, trabajará con $$\lim_{x\to\infty}\frac{x\sin(x^2)}{x^2}.$$ But if $g (x) = x \ sin (x ^ 2)$, then the limit $\ lim_ { x \ to \ infty} g '(x)$ no existe. Por lo tanto, no puedes aplicar la Regla de L'Hopital aquí.

Answer 2

(Resumen de Wikipedia.)

La regla de l'Hôpital:

Dadas las funciones $f$ e $g$ cuales son derivable en un intervalo abierto $I$, excepto posiblemente en un punto de $c \in I$, si

$$\lim _{x \to c}F(x)=\lim _{x\to c}G(x)=0 \text{ or }\pm \infty, \tag{1.}$$ $$G'(x)\neq 0 \text{ for all }x \in I, \text{ with }x \ne c, \text{ and} \tag{2.}$$ $$\lim_{x \to c}\frac{F'(x)}{G'(x)} \text{ exists.} \tag{3.}$$

entonces

$$\lim_{x \to c} \frac{F(x)}{G(x)} =\lim_{x \to c} \frac{F'(x)}{G'(x)}. \tag{4.}$$

Utilizó $F(x) = xf(x)$ e $G(x) = x$ e $I = (x_0, \infty)$ para algunos $x_0 < 0$.

Desde $\lim _{x\to \infty}G(x)= \infty$, condición de $(1.)$ requiere que $$\lim _{x \to \infty}xf(x) = \infty. \tag{A.}$$

Condición de $(2.)$ está satisfecho por $G(x)=x$.

Condición de $(3.)$ requiere que $$\lim_{x \to \infty}[f(x)+xf'(x)] \text{ exists.} \tag{B.}$$

Si las condiciones lo $(A.)$ e $(B.)$ se cumplen, entonces, por la regla de L'Hôpital, $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty}[f(x)+xf'(x)]$$

Otros han demostrado que el contador de ejemplos, existe.