Ejemplo de colector Riemannian compacto con una sola geodésica cerrada.

Question

El Lyusternik-Fet teorema establece que todas las compactas de Riemann colector tiene al menos un cerrado geodésica.

¿Hay alguna fáciles de construir¹ ejemplos de compacto de Riemann colectores para el que es fácil ver que sólo tienen uno cerrado geodésica?²

Si no hay ninguno de estos ejemplos, ¿hay alguna fáciles de construir ejemplos que sólo tienen uno cerrado geodésica pero donde probar esto podría ser difícil?

Y si no hay ejemplos de esto, hay ejemplos en todos compacto colectores con sólo uno cerrado geodésica?

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¹ por supuesto, el $1$-esfera $S^1$ contiene sólo una cerrada geodésica, pero estoy interesado en los ejemplos, además de éste.

² Por el teorema de los tres geodesics, este ejemplo no puede ser una esfera topológica.

Answer 1

En primer lugar, usted tiene que excluir constante mapas de $S^1\to M$ de consideración: todos Ellos son cerrados geodesics. En segundo lugar, usted tiene que hablar geométricamente distintos cerrado geodesics: Geodesics que tienen la misma imagen son considerados como "el mismo". Entonces, es un notorio conjetura/problema abierto:

Conjetura. Cada compacto de Riemann colector de dimensión $n >1$ contiene una infinidad geométricamente distintos no constante geodesics.

Ver por ejemplo este artículo por Quemaduras y Matveev.

Este es conocido por superficies (con el único caso difícil cuando la superficie es diffeomorphic a $S^2$ , en cuyo caso el resultado es debido a Bangert y los Francos) y para muchas más dimensiones de los colectores. Sin embargo, el problema está ya abierto al $M$ es diffeomorphic a la esfera $S^n$, $n\ge 3$.

Answer 2

Si analiza las geodésicas utilizando la relación de Clairaut , encontrará que la única geodésica cerrada en un hiperboloide de una hoja es el círculo central. De hecho, lo mismo se aplica a una superficie cóncava de revolución de la misma "forma" que el hiperboloide de una hoja.

EDIT : disculpas por perder la hipótesis crucial de la compacidad.