Esto se estaba haciendo demasiado largo para un comentario, pero no es realmente una respuesta - más bien un estímulo para aguantar con el tipo de pregunta que estás haciendo.
La pregunta "¿qué es un número?" ha llevado a muchos matemáticos a reflexionar sobre el material básico con el que trabajan y su definición. Esto nos lleva a plantear preguntas ricas y fundamentales sobre el fundamento de las matemáticas.
En combinación con los conocimientos geométricos, podemos ampliar los números/sistemas conocidos para obtener espacios proyectivos o la Esfera de Riemann, los cuales dan cabida a las nociones de infinito.
Desde el punto de vista algebraico, nos lleva a reflexionar sobre las propiedades que esperamos que tengan nuestros números y los tipos de objetos matemáticos que tienen esas propiedades.
Y quizás quieras buscar el argumento de la diagonal de Cantor y la reflexión sobre cómo los conjuntos infinitos no siempre se comportan de acuerdo con nuestra intuición. (Un conjunto infinito puede ponerse en correspondencia uno a uno con un subconjunto propio de sí mismo - podemos emparejar los números enteros con los enteros pares emparejando $n$ con $2n$ )
Es posible crear sistemas de números en los que la existencia de números infinitos sea coherente con las operaciones aritméticas: los "números surrealistas" de JH Conway son un ejemplo.
Volviendo un poco a la pregunta:
Si estás trabajando con enteros no negativos, entonces no hay ningún entero infinito, y no puedes dividir por algo que no existe.
Si se trabaja dentro de los números racionales (fracciones), se puede dividir por cualquier número racional (incluyendo cualquier entero) excepto por el cero. Eso te daría una fracción válida como respuesta.
Los números enteros no negativos y los números racionales son sistemas de números cuidadosamente construidos para obedecer reglas claramente establecidas - la necesidad de una definición cuidadosa surge por el tipo de pregunta que estás haciendo.
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El infinito no es un número.
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@SeanRoberson ¿Qué es un número para que digas eso?
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@user647486: los números naturales están definidos, por ejemplo, por los axiomas de Peano.
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@Ilearnmathnotknowit Dividiendo por $11$ es multiplicar por $\frac{1}{11}$ . La multiplicación de $\infty$ por cualquier número real se define como $\infty$ .
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Claro, depende de cómo se defina. Puedes definirlo como el número tal que para cualquier número real $x$ $x$ puede dividirse por el infinito y también que para cualquier número real $x$ , $x < \infty$ . Por lo tanto, sería el mayor número que divide a 11.
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@user647486: ¿cuál es tu definición de infinito (que no es un número)?
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@user647486 No estoy seguro de lo que preguntas pero la definición generalmente aceptada de infinito es que significa indefinido. De ahí el comentario totalmente correcto de Sean Roberson.
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¡Bienvenido a MSE! Como dijo @SeanRoberson, el infinito no es un número. Para entender el infinito, tienes que entender el concepto ''límite''. Tal vez sea demasiado joven para que entiendas el infinito pero te animo a que inicies tu primera exposición al cálculo, cualquier libro de texto de cálculo te ayudaría.
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@QuantumPenguin No, eso es incorrecto.
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@user647486 ¿Puede justificar su afirmación?
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Para responder a la pregunta necesitas una definición precisa de estos conceptos: número, división, número mayor (más alto) y finalmente infinito. Y no te ofendas, pero si "grado 9" significa "escuela secundaria o menos", dudo mucho que esa persona sea capaz de entenderlo. Estos temas (al menos el "número" y el "infinito") son taaaan profundos y difíciles que pueden significar cosas diferentes en contextos diferentes. Hay libros enteros escritos sobre estos temas. No es el lugar de Math SE desafortunadamente.
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Existe una aritmética para los números reales extendidos (números reales con $\pm\infty.$ ) Puedes ver su aritmética aquí: es.wikipedia.org/wiki/ .
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@AdrianKeister ¿Es la línea real extendida la única forma de definir el infinito? No, no lo es. ¿Son todas las definiciones equivalentes? No, no lo son. La pregunta es demasiado amplia.
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@freakish: Sí, soy consciente de ello. Sólo quería señalar al OP una forma de hacer las cosas que he encontrado útil para desarrollar una intuición sobre el infinito.
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@QuantumPenguin Undefined es sólo una operación que no ha sido definida en algún contexto. El infinito, es un nombre para muchos números diferentes, en diferentes áreas de las matemáticas. Por ejemplo, hay uno que es el número que se obtiene como la compactación de un punto del plano. Este número es el resultado de muchas operaciones, por ejemplo $1/0$ . Hay dos números $\pm\infty$ llamado infinito que son los fin puntos de $\mathbb{R}$ . Se trata, por ejemplo, de los resultados de $\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}$ y de $\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}$ .
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@QuantumPenguin Observe cómo $\pm\infty$ son casos válidos para L'Hospital para $f'/g'$ para implicar el límite de $f/g$ . 'Indefinido' no tiene esa propiedad. Toda esa mierda de que el infinito no es un número sólo la dice gente que no es matemática. No saben de qué están hablando. Son números, se puede calcular con ellos perfectamente. Tienen reglas ligeramente diferentes, pero también $0$ .
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Tu título pregunta sobre la división del infinito por un número, luego en tu pregunta empiezas preguntando sobre la división de once por algo, luego vuelves a dividir algo por once. Dividir algo entre once y dividir once entre algo son muy diferentes, y tienes que distinguir más claramente entre los dos.
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@YvesDaoust ¿Qué pasa con los modelos no estándar de los axiomas de Peano?
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@user76284: ¿cuál es tu pregunta?
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Has dicho que "los números naturales están definidos, por ejemplo, por los axiomas de Peano", pero algunos de los modelos que satisfacen los axiomas de Peano contienen "elementos infinitos" más allá del segmento inicial que es isomorfo a los naturales estándar.
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@user76284: La normalidad es una ilusión. Si ZFC es consistente, entonces ZFC tiene un modelo cuyos naturales no son estándar. Entonces, ¿cómo sabes que su ¿los naturales son estándar? Por supuesto que no; todo es relativo al metasistema.
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@user21820 Entiendo tu punto, pero me parece que, cuando la gente piensa en números naturales, piensa en algo que satisface, por ejemplo, el teorema de Goodstein o el teorema de Ramsey finito reforzado, que son independientes de PA. Así que creo que es un error decir que PA define números naturales. "Describe" podría ser una mejor opción.
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@user76284: Tienes toda la razón en eso, y vale la pena ampliar esa observación tuya. En concreto, para los matemáticos de a pie los números naturales no sólo son una estructura que satisface la PA sino también la mínima de dichas estructuras, que es el término modelo $\{0,1,1+1,1+1+1,\cdots\}$ . Esta noción, por supuesto, es relativa al metasistema MS, pero al menos desde el punto de vista de MS esta minimalidad define de forma única a los naturales. Por supuesto, mi comentario fue que esto sigue siendo una ilusión porque la propia EM tiene no-modelos si es consistente, pero sí en un sentido la gente piensa que su EM es "correcta".