Límite muy indeterminado: $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+2x+3} -\sqrt{x^2+3}\right)^x \longrightarrow (\infty-\infty)^{\infty}$

Question

Aquí está el problema:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+2x+3} -\sqrt{x^2+3}\right)^x$$

La solución que presenté en la imagen de abajo fue hecha por un Profesor de matemáticas

He intentado resolver este Límite sin utilizar la derivada (L'hospital) y la notación Big O. Aunque consigo la respuesta, no sé si la técnica que estoy utilizando es definitivamente correcta.

Y este es mi método:

$$\begin{align*}\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+2x+3} -\sqrt{x^2+3}\right)^x&=\lim_{x \to \infty} \left(\frac {2x}{\sqrt{x^2+2x+3} +\sqrt{x^2+3}}\right)^x\\&=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{ \left(\frac {\sqrt{x^2+2x+3} +\sqrt{x^2+3}}{2x}\right)^x}\end{align*}$$

Entonces, defino una nueva función aquí

$$y(x)=\sqrt{x^2+2x+3} +\sqrt{x^2+3}-2x-1$$

Tenemos

$$\begin{align*} \lim _{x\to\infty} y(x)&=\lim_{x \to \infty}\sqrt{x^2+2x+3} +\sqrt{x^2+3}-2x-1\\ &=\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+2x+3}-(x+1))+(\sqrt{x^2+3}-x)\\ &=\lim_{x \to \infty}\frac{2}{\sqrt{x^2+2x+3}+x+1}+ \lim_{x \to \infty}\frac{3}{\sqrt{x^2+3}+x}\\ &=0. \end{align*}$$

Esto implica que $$\lim_{x \to \infty}\frac{2x}{y(x)+1}\longrightarrow\infty $$

Por lo tanto,

$$\begin{align*} \lim_{x \to \infty}\frac{1}{ \left(\frac {\sqrt{x^2+2x+3} +\sqrt{x^2+3}}{2x}\right)^x}&=\lim_{x \to\infty} \frac{1}{ \left(\frac{y(x)+2x+1}{2x} \right)^x}\\ &=\lim_{x \to\infty} \frac{1}{ \left(1+\frac{y(x)+1}{2x} \right)^x}\\ &=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\left( \left( 1+\frac{1}{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{y(x)+1}{2}}}\\ & \end{align*}$$

En este caso, definimos $2$ funciones.

$f(x)=\left( 1+\frac{1}{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{2x}{y(x)+1}}$

$g(x)=\frac{y(x)+1}{2}$

Lo deducimos, $\lim {x\to\infty}( f(x))=e>0$ y $\lim {x\to\infty} (g(x))=\frac 12>0$ . Así, $\lim {x\to\infty} \left(f(x)^{g(x)} \right)$ existen y son finitos.

Al final lo conseguimos,

$$\begin{align*} \lim_{x \to \infty}\frac{1}{\left( \left( 1+\frac{1}{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{y(x)+1}{2}}}& \\=\frac{1}{\lim_{x \to \infty}\left( \left( \left( 1+\frac{1}{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{y(x)+1}{2}}\right)}&\\=\frac{1}{\left(\lim_{x\to\infty} \left(\left( 1+\frac{1}{\frac{2x}{y(x)+1}}\right) \right)^{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\left( \lim_{x\to\infty} \frac{y(x)+1}{2}\right)}}&\\ =\frac {1}{e^{\frac12}}=\frac{\sqrt e}{e}.\\&& \end{align*}$$

¿Es correcto el método que utilizo?

Gracias.

Answer 1

La prueba se puede acelerar, utilizando series binomiales de Maclaurin en forma de $$\sqrt{x^2+2x+3} = (x+1)\sqrt{1+\dfrac2{(x+1)^2}} = (x+1)\left(1 + \dfrac1{(x+1)^2}+O\left(x^{-4}\right)\right)$$ $$ = x+1+\dfrac1x+O\left(x^{-2}\right),$$ $$\sqrt{x^2+3} = x\left(1+\dfrac3{2x^2}+O(x^{-4})\right) = x + \dfrac3{2x}+O(x^{-3}).$$ Entonces $$\ln L = \ln \lim\limits_{x\to\infty} \left(\sqrt{x^2+2x+3}-\sqrt{x^2+3}\right)^x = \lim\limits_{x\to\infty} x\ln\left(1-\frac1{2x}+O\left(x^{-2}\right)\right)$$ $$= \lim\limits_{x\to\infty} x\left(-\frac1{2x}+O\left(x^{-2}\right)\right) = -\frac12,$$ $$L=e^{\Large^{-\frac12}}.$$