Límite muy indeterminado: $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+2x+3} -\sqrt{x^2+3}\right)^x \longrightarrow (\infty-\infty)^{\infty}$

Question

Aquí está el problema:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+2x+3} -\sqrt{x^2+3}\right)^x$$

La solución que presenté en la imagen de abajo fue hecha por un Profesor de matemáticas

He intentado resolver este Límite sin utilizar la derivada (L'hospital) y la notación Big O. Aunque consigo la respuesta, no sé si la técnica que estoy utilizando es definitivamente correcta.

Y este es mi método:

$$\begin{align*}\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2+2x+3} -\sqrt{x^2+3}\right)^x&=\lim_{x \to \infty} \left(\frac {2x}{\sqrt{x^2+2x+3} +\sqrt{x^2+3}}\right)^x\\&=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{ \left(\frac {\sqrt{x^2+2x+3} +\sqrt{x^2+3}}{2x}\right)^x}\end{align*}$$

Entonces, defino una nueva función aquí

$$y(x)=\sqrt{x^2+2x+3} +\sqrt{x^2+3}-2x-1$$

Tenemos

$$\begin{align*} \lim _{x\to\infty} y(x)&=\lim_{x \to \infty}\sqrt{x^2+2x+3} +\sqrt{x^2+3}-2x-1\\ &=\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+2x+3}-(x+1))+(\sqrt{x^2+3}-x)\\ &=\lim_{x \to \infty}\frac{2}{\sqrt{x^2+2x+3}+x+1}+ \lim_{x \to \infty}\frac{3}{\sqrt{x^2+3}+x}\\ &=0. \end{align*}$$

Esto implica que $$\lim_{x \to \infty}\frac{2x}{y(x)+1}\longrightarrow\infty $$

Por lo tanto,

$$\begin{align*} \lim_{x \to \infty}\frac{1}{ \left(\frac {\sqrt{x^2+2x+3} +\sqrt{x^2+3}}{2x}\right)^x}&=\lim_{x \to\infty} \frac{1}{ \left(\frac{y(x)+2x+1}{2x} \right)^x}\\ &=\lim_{x \to\infty} \frac{1}{ \left(1+\frac{y(x)+1}{2x} \right)^x}\\ &=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\left( \left( 1+\frac{1}{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{y(x)+1}{2}}}\\ & \end{align*}$$

En este caso, definimos $2$ funciones.

$f(x)=\left( 1+\frac{1}{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{2x}{y(x)+1}}$

$g(x)=\frac{y(x)+1}{2}$

Lo deducimos, $\lim {x\to\infty}( f(x))=e>0$ y $\lim {x\to\infty} (g(x))=\frac 12>0$ . Así, $\lim {x\to\infty} \left(f(x)^{g(x)} \right)$ existen y son finitos.

Al final lo conseguimos,

$$\begin{align*} \lim_{x \to \infty}\frac{1}{\left( \left( 1+\frac{1}{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{y(x)+1}{2}}}& \\=\frac{1}{\lim_{x \to \infty}\left( \left( \left( 1+\frac{1}{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\frac{y(x)+1}{2}}\right)}&\\=\frac{1}{\left(\lim_{x\to\infty} \left(\left( 1+\frac{1}{\frac{2x}{y(x)+1}}\right) \right)^{\frac{2x}{y(x)+1}}\right)^{\left( \lim_{x\to\infty} \frac{y(x)+1}{2}\right)}}&\\ =\frac {1}{e^{\frac12}}=\frac{\sqrt e}{e}.\\&& \end{align*}$$

¿Es correcto el método que utilizo?

Gracias.

Answer 1

¡Tus matemáticas se ven bien! Yo sólo daría un paso extra aquí y allá para dejar claro lo que estás haciendo. Cosas como mostrar que estás multiplicando por conjugados y quizás un cambio de variables, digamos $$z = \frac{2x}{y(x)+1},$$ cerca del final para que quede un poco más claro dónde está el $e$ viene de. Por lo demás, ¡todo se ve bien! Este es un límite complicado, me gusta mucho tu solución.

Answer 2

La solución parece ser correcta. Sólo para mantener la cordura, he aquí un argumento diferente, basado en la idea de que conocer las derivadas es conocer muchos límites.

Primero, encontrar el límite del logaritmo de la bestia, que se trata mejor también con la sustitución $x=1/t$ lo que hace que tratemos de encontrar $$ \lim_{t\to0^+}\frac{1}{t}\log\left(\frac{\sqrt{1+2t+3t^2}-\sqrt{1+3t^2}}{t}\right) = \lim_{t\to0^+}\frac{1}{t}\log\left(\frac{2}{\sqrt{1+2t+3t^2}+\sqrt{1+3t^2}}\right) $$ Esto se puede reescribir como $$ \lim_{t\to0^+}-\frac{\log\bigl(\sqrt{1+2t+3t^2}+\sqrt{1+3t^2}\,\bigr)-\log2}{t} $$ que es el negativo de la derivada en $0$ de $$ f(t)=\log\bigl(\sqrt{1+2t+3t^2}+\sqrt{1+3t^2}\,\bigr) $$ Desde $$ f'(t)=\frac{1}{\sqrt{1+2t+3t^2}+\sqrt{1+3t^2}}\left(\frac{1+3t}{\sqrt{1+2t+3t^2}}+\frac{3t}{\sqrt{1+3t^2}}\right) $$ tenemos $f'(0)=1/2$ y por lo tanto el límite es $-1/2$ , por lo que su límite dado $$ e^{-1/2} $$

Answer 3

Su planteamiento es correcto, pero su presentación/aplicación es más complicada de lo necesario aquí.

A continuación le explicamos cómo puede utilizar el mismo enfoque con mucho menos esfuerzo. Ya has observado que la base $$F(x) =\sqrt {x^2+2x+3}-\sqrt{x^2+3}$$ tiende a $1$ como $x\to\infty $ . Ahora la expresión bajo límite puede escribirse como $$\{F(x) \} ^x=\{\{1+(F(x)-1)\}^{1/(F(x)-1)}\}^{x(F(x)-1)}$$ La expresión interior tiende a $e$ y el exponente $x(F(x) - 1)\to -1/2$ para que el límite deseado sea $e^{-1/2}$ .

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Otra parte de su enfoque es que implica el uso complicado de restar $2x+1$ de $y(x) $ . Para los experimentados en el arte del cálculo este paso es obvio a través de la aproximación $$\sqrt{x^2+2ax+b}\approx x+a$$ pero puede parecer un poco misterioso para un novato. Lo mejor es explicar esta parte o eliminarla por completo, como he hecho yo en mi respuesta.

También hay que tener en cuenta que su enfoque utiliza los siguientes límites / reglas (no es necesario señalarlos explícitamente a menos que lo exija algún examinador estricto) :

• $\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
• Si $\lim_{x\to\infty} f(x) =a>0$ y $\lim_{x\to\infty} g(x) =b$ entonces $\{f(x) \} ^{g(x)} \to a^b$ como $x\to\infty $ .

Answer 4

Elevando al cuadrado, podemos comprobar que $$ x\le\sqrt{x^2+3}\le x\left(1+\frac3{2x^2}\right)\tag1 $$ y $$ x+1\le\sqrt{x^2+2x+3}\le(x+1)\left(1+\frac1{x(x+1)}\right)\tag2 $$ Añadir $(1)$ y $(2)$ da $$ 2x+1\le\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+3}\le(2x+1)\left(1+\frac3{2x^2}\right)\tag3 $$ Multiplicando el numerador y el denominador por $\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+3}$ da $$ \sqrt{x^2+2x+3}-\sqrt{x^2+3}=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+3}}\tag4 $$ Rendimiento de Bernoulli y de la multiplicación cruzada $$ 1-\frac3{2x}\le\left(1-\frac3{2x^2}\right)^x\le\left(1+\frac3{2x^2}\right)^{-x}\tag5 $$ Por lo tanto, $(3)$ , $(4)$ y $(5)$ rendimiento $$ \left(\frac{2x}{2x+1}\right)^x\left(1-\frac3{2x}\right)\le\left(\sqrt{x^2+2x+3}-\sqrt{x^2+3}\right)^x\le\left(\frac{2x}{2x+1}\right)^x\tag6 $$ El Teorema del Apretón dice entonces $$ \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+2x+3}-\sqrt{x^2+3}\right)^x=e^{-1/2}\tag7 $$

Answer 5

Su método es correcto si, y sólo si, entiende de verdad cómo probar rigurosamente un paso crítico en el que efectivamente afirma $\lim_{x∈\mathbb{R}→∞} (1+\frac1x)^{f(x)} = \lim_{x∈\mathbb{R}→∞} e^{f(x)/x}$ . Obsérvese que esto requiere una exponenciación real, y la prueba más sencilla de esto implicaría las expansiones asintóticas para $\exp,\ln$ De ahí que personalmente piense que es engañoso pensar que su método evade con éxito las expansiones asintóticas. Para adelantarse a la prueba falsa muy común, tenga en cuenta que esta afirmación hace no seguir de $\lim_{x∈\mathbb{R}→∞} (1+\frac1x)^x = e$ .

Después de que publicara mi respuesta, editaste tu intento de manera no trivial. (Por favor, no edite su pregunta de esta manera en el futuro, ya que invalida las respuestas existentes). Sigue teniendo el mismo error conceptual, sólo que con una apariencia diferente. En este segundo intento, usted afirma efectivamente que si $\lim_{x∈\mathbb{R}→∞} g(x) = c$ entonces $\lim_{x∈\mathbb{R}→∞} f(x)^{g(x)} = \lim_{x∈\mathbb{R}→∞} f(x)^c$ si existe este último límite. Esto no es cierto en general. Si puedes enunciar y demostrar el teorema correcto de este tipo (en un comentario), entonces creeré que lo entiendes.

El error subyacente más común es que has sustituido parte de una expresión límite por su límite, lo que en general no es válido.