¿Prueba elemental de "los polinomios irreducibles siguen siendo irreducibles sobre la extensión trascendental"?

Question

Considere la siguiente instrucción

Deje $K$ ser un campo, $L/K$ puramente trascendental extensiones de campos (es decir, $K$ es relativamente algebraicamente cerrado en $L$). Deje $F \in K[X_1, \ldots, X_n]$ ser un polinomio irreducible sobre $K$. A continuación, $F$ permanece irreductible $L$.

Hay un modo elemental para demostrar esta afirmación, accesible a los estudiantes universitarios? Voy a dar una prueba de que yo considere, al menos, la parte 1 no primaria. (fuente: Irreductibilidad de Polinomios Global Campos de Diophantine, Felipe Dittmann, arxiv)

1. Caso especial $K$ $L$ algebraicamente cerrado. En este caso especial, la declaración de la siguiente por la eliminación de cuantificadores en algebraicamente cerrado campos. De hecho, la irreductibilidad de un polinomio $F$ puede ser escrito como una primera orden de la fórmula con los coeficientes de $F$ como parámetros. Por la eliminación de cuantificadores esta fórmula es equivalente a una fórmula sin cuantificadores, que sostiene en $L$ tan pronto como se tiene en $K$.

2. Caso General. Deje $\overline{L}$ ser una expresión algebraica cierre de $L$ $\overline{K}$ la clausura algebraica de $K$$\overline{L}$. Después de un cambio de coordenadas, podemos suponer que el coeficiente constante de $F$$1$. Supongamos $F$ factores como producto de polinomios irreducibles $F_1, \ldots, F_n$ $\overline{K}$ con coeficientes constantes $1$. Por el caso especial de cada uno de estos factores (en $\overline{K}[X_1, \ldots, X_n]$) sigue siendo irreductible $\overline{L}$. Supongamos que por el bien de una contradicción que se $F$ era reducible $L$, entonces tendríamos $F = G \cdot H$ para ciertos $G, H \in L[X_1, \ldots, X_n]$ con coeficientes constantes $1$. Por única factorización en $\overline{L}[X_1, \ldots, X_n]$ ambos $G$ $H$ tendría que ser productos de determinados $F_i$'s, donde sus coeficientes se encuentran en la $\overline{K} \cap L = K$, contradiciendo la suposición de que $F$ es irreducible sobre $K$.

Answer 1

Una manera de verlo es la siguiente: si $F$ es un campo, $f_i = 0$ un sistema de ecuaciones polinómicas con coeficientes en $F$ que tiene un número finito de soluciones en cualquier extensión de $F$. Entonces cualquier solución en una extensión de $F$ tiene todos los componentes algebraicas sobre $F$. En efecto, considere la posibilidad de una solución en una extensión de $K$$F$. Deje $F'$ el campo generado por los componentes de la solución. Es suficiente para demostrar que $F'$ es algebraico ( y por lo tanto finito)$F$. De hecho, si no fuera, tendríamos infinidad de $F$ morfismos de $F'$ en algunos convenientemente la gran extensión de $L$$F$. Cada uno de esos morfismos produciría una solución diferente del sistema en $L$, contradicción.

Tenga en cuenta que "un número finito de soluciones en cualquier extensión de $F$" es apriori más fuerte que "un número finito de soluciones en (algunos de extensión de )$\bar F$ ", a pesar de la eliminación de cuantificadores aclara que son equivalentes declaraciones. Pero nosotros sólo utilizamos la más débil implicación, que sólo los usos básicos de la teoría de campo.

Ahora considere una factorización
$$P\cdot Q = R$$ donde $R\in F[x_1, \ldots, x_n]$ y $P$, $Q \in K[x_1, \ldots, x_n]$. Vamos $I$, $J$ la mayor monomials en los soportes de $P$, $Q$ para algunos monomio orden. A continuación, para los coeficientes $a_I$, $b_J$, $c_{I+J}$ de $P$, $Q$, $R$ tenemos $$a_I \cdot b_J = c_{I+J}$$ Así que vamos a elegir una modificación de la escala de los coeficientes de $P$, $Q$ así que $$a_I = 1\\ b_J = c_{I+J}$$

Tenga en cuenta que el sistema de ecuaciones para los coeficientes de $P$, $Q$ ( polinomio, los coeficientes en $F$) que traduce las igualdades $$P\cdot P = R\\ a_I= 1\\ b_J= c_{I+J}$$ tiene un número finito de soluciones en cualquier extensión de $L$ $F$ ( sigue del hecho de que $L[x_1, \ldots,x_n]$ es UFD). Ahora estamos a la conclusión de que los coeficientes de $P$, $Q$ son algebraicos sobre $F$.

El reescalado parece un poco antinatural. De hecho, uno puede mostrar lo siguiente:

Hemos integral de las dependencias de cualquier $a_I\cdot b_J$ sobre el anillo de $\mathbb{Z}[c_K]$. Se puede demostrar que esta por inducción en $n$, con Ex 8, 9 cap v en Atiyah-Macdonald Álgebra Conmutativa. Uno puede producir explícitamente tales dependencias para un determinado tipo de factorizations $P\cdot Q =R$, el uso de bases de Groebner para la eliminación.

Answer 2

Esto puede no ser tan elemental como le gustaría, pero ya que has comentado que sería un paso en la dirección correcta, aquí es cómo usted puede reemplazar el uso de eliminación de cuantificadores con el Nullstellensatz.

Supongamos que $K$ es algebraicamente cerrado, y que $F$ tiene un trivial de la factorización de la $F=GH$$L$. Deje $A\subseteq L$ $K$- subalgebra generados por los coeficientes de $G$$H$. A continuación, $A$ es un finitely generado reducido conmutativa $K$-álgebra. Por el Nullstellensatz, para cualquier valor distinto de cero $a\in A$, existe un $K$-álgebra homomorphism $\varphi:A\to K$ tal que $\varphi(a)\neq 0$. En particular, la recogida distinto de cero los coeficientes de $G$ $H$ otros de la constante y los coeficientes deje $a$ ser su producto, y deje $\varphi:A\to K$ ser tal que $\varphi(a)\neq 0$.

Ahora, vamos a $G'$ $H'$ ser los polinomios obtenidos mediante la aplicación de $\varphi$ a los coeficientes de $G$$H$. Desde $\varphi$ $K$- álgebra homomorphism y $F$ ha coeficientes en $K$,$G'H'=F$. Por otra parte, desde $\varphi(a)\neq 0$, $G'$ y $H'$ son ambos no constante. Esto contradice la irreductibilidad de $F$.

(Usted puede reformular esta a un uso más concreto de la versión de la Nullstellensatz explícitamente en términos de resolución de ecuaciones polinómicas. Considere la ecuación de $F=GH$ como un sistema de ecuaciones polinómicas $K$, con las variables los coeficientes de $G$ $H$ y tener una ecuación para cada coeficiente de $F$. Por el Rabinowicz truco, usted puede agregar un poco más de ecuaciones y variables que implica que $G$ $H$ son no constante (se selecciona un valor distinto de cero, el coeficiente de cada uno, que no es el coeficiente constante, y agregar una nueva variable que es su inverso). Dado que este sistema de ecuaciones tiene una solución en $L$, estas ecuaciones polinómicas no puede generar la unidad ideal. Por la debilidad de la Nullstellensatz, lo que implica que tiene una solución en $K$, lo que da una factorización de $F$$K$.)