¿Es el axioma de universos ' inofensivo '?

Question

Generalmente cuando se inicia el estudio de la categoría de la teoría de que vea la definición habitual: una categoría consta de una clase de $Ob(\mathcal{C})$ de los objetos, etc.

Si usted toma ZFC a ser su sistema de axiomas, entonces, una "clase" (uno) es algo que no se puede formalmente uso, ya que todo en el universo de discurso es un conjunto.

Algunas personas (MacLane? Grothendieck?) estaban comprensiblemente preocupados acerca de esto. La reducción en la historia, de la que no estoy calificado para dar cuenta exacta de, no es la definición de Grothendieck del universo.

Si tenemos que añadir el siguiente axioma de universos a ZFC, entonces podemos obtener en torno a tener el uso de clases:

Axioma de universos (U): cada conjunto está contenida en algunos universo.

Ahora, se puede probar que el axioma de universos es equivalente a la

Inaccesible cardenal axioma: para cada cardenal μ, hay un cardinal inaccesible κ que es estrictamente mayor.

lo que fue demostrado para ser independiente de ZFC. Por lo tanto podemos trabajar en ZFC+U y hacer de la categoría de la teoría con la preocupación de tratar con la debida clases de poner en reposo.

Este parece ser ahora un enfoque estándar para una buena base de la categoría de teoría.

Mi pregunta, para decirlo de manera informal, es: ¿cómo inocentes es el axioma de universos?

A lo que me refiero es: ¿cómo sabemos que no tiene consecuencias inesperadas que pueden alterar el resto de las matemáticas? La motivación fue a dar una buena base de la categoría en la teoría, pero no sería razonable para dar una gran base de que la alteración en el resto del común de las matemáticas.

Para dar un ejemplo, nosotros ahora que añadir el axioma de elección para ZF tiene algunas consecuencias alarmantes. Por ejemplo, el de Banach-Tarski paradoja. ¿Cómo sabemos que ZFC+U no tiene igualmente consecuencias alarmantes? ¿Por qué estamos en reposo con la adición de este axioma a nuestra fundación de las matemáticas? No es este un lugar delicada cuestión? ¿Cuánto sabemos acerca de lo bueno que es el universo? (Yo diría que la fundación para la categoría de la teoría es mejor que otra si se resuelve el "buen clases de emisión" y tiene menos impacto en el resto de las matemáticas.)

Answer 1

A lo que me refiero es: ¿cómo sabemos que no tiene consecuencias inesperadas que pueden alterar el resto de las matemáticas?

Voy a dar un par de comentarios, y también se vinculan a estos MathOverflow debates:

• Recientes afirman que inaccessibles son incompatibles con ZF

• Razones para creer Vopenka del principio/enorme cardenales son consistentes

(1) En la teoría de conjuntos, el estudio de los grandes cardenales (mucho "más grande" que simplemente inaccesible) ha sido muy fructífera. La existencia de muchas de estas grandes cardenales requiere la existencia de inaccessibles. A fin de establecer los teóricos están interesados en estos grandes cardenales a causa de su utilidad (tal vez "sorprendente") consecuencias. Si no hubo consecuencias interesantes, establecer los teóricos iba a encontrar otras cosas para mirar.

(2) Desde el punto de VISTA escéptico, no sabemos qué consecuencias podría tener. Podría ser que ZFC es consistente, pero ZFC más el universo axioma es inconsistente. Muchas personas llegan a sentir que tienen una cierta intuición de que la existencia de universos no es incompatible con ZFC. Esta creencia proviene a menudo de una forma de pensar acerca de la forma en que el acumulado de la jerarquía de las obras. Por otro lado, hay un manuscrito de Kiselev (enlace), en la que pretende demostrar que la existencia de un cardinal inaccesible es incompatible con ZFC.

Sabemos que ZFC no puede demostrar que incluso existe un cardinal inaccesible. Y sabemos que no podemos demostrar en ZFC que la existencia de un inaccesible es consistente, debido a las limitaciones provenientes de los teoremas de incompletitud. Así que cualquier argumento que inaccessibles son consistentes se han de utilizar métodos que puede formalizarse en ZFC.

(3) Temporalmente adoptar un Platonistic perspectiva, al menos por el bien del argumento. Desde esta posición, cada "axioma" es verdadera o falsa, pero no puede alterar las propiedades de los objetos matemáticos, que existe de forma independiente de los axiomas utilizados para su estudio. Por supuesto que se puede demostrar la falsedad de las declaraciones de los falsos axiomas, pero en realidad no podemos cambiar los objetos en sí.

(4) Ahora rechazan temporalmente el Platonismo, y sólo piensan en pruebas. Entonces no va a hacer ninguna diferencia a mi concepción de las matemáticas si alguien adopta un axioma que no acepto. Me limitaré a poner un * al lado de todos los teoremas que el uso de este axioma, y contar con ellas como dudosa en el mejor. Yo incluso podría reprobar algunos de los teoremas sin el nuevo axioma sólo sé que están bien. De esta manera, mi concepción personal de las matemáticas también se cambia por otras personas utilizando diferentes axiomas.

Creo que (3) y (4) de inicio para indicar la forma en que las cuestiones filosóficas entrará en cuando nos preguntamos acerca de los efectos de los diferentes axiomas sobre "matemáticas".

(Esta respuesta se marca como wiki de la comunidad, como ya me dio una respuesta diferente para esta pregunta. Por favor, siéntase bienvenido a añadir más enlaces a la lista de enlaces de arriba.)

Answer 2

Yo se la dejo a otro usuario para discutir la intensidad exacta de el universo de los axiomas de la teoría de conjuntos. No hay mucho que decir acerca de eso.

Lo que quiero señalar es que, para las aplicaciones reales de la categoría de la teoría de los métodos de la teoría de los números, tales como Último Teorema de Fermat (FLT), parece que el uso de los universos pueden ser eliminados. Por ejemplo, Colin McLarty publicó un artículo (ref, preprint) en el Boletín de la Lógica Simbólica en 2010 en la que se afirma:

"Este documento tiene como objetivo explicar cómo y por qué tres hechos coexisten:

1. Universos organizar un contexto para el más explícito de los cálculos aritméticos demostrando FLT u otros de la teoría de números.
2. Universos pueden ser eliminados en favor de ZFC por dispositivos conocidos a pesar de que este nunca es el hecho (y esto sigue siendo mucho más fuerte que la PA).
3. Las grandes pruebas en cohomological la teoría de los números, tales como Wiles [1995] o Deligne [1974], o Faltings [1983], el uso de los universos de hecho."

La clave de la reclamación quiero destacar es (2): muchas personas creen que los métodos de uso de los universos no son necesarios para que los resultados concretos tales como Wiles teorema, y en principio las pruebas a las que se puede volver a escribir sin ellos. No estoy en posición de juzgar la demanda, pero parece ser aceptado por unas cuantas personas que han mirado en el asunto. No es una conjetura que el Último Teorema de Fermat puede ser demostrado en la Aritmética de Peano, e incluso en mucho más débil de las teorías, y en la actualidad tenemos ninguna razón para sospechar que el FLT no puede ser probado en la Aritmética de Peano.

Esto hace que la cuestión fundamental de los universos más interesante: se utilizan, claramente, pero el trabajo número de teóricos de saber cómo evitarlos si se desea, lo que deja una especie de tensión. Este es el problema McLarty es conseguir que en su papel.

McLarty los avances más recientes anuncio indica que él ha puesto aún más de los progresos realizados desde su documento de 2010.