Si la suma converge a cero, ¿significa eso que cada secuencia converge a cero?

Question

¿Si se nos da que la suma de dos secuencias de números reales positivos converge a cero, significa que cada secuencia converge a cero? (por el teorema del apretón)

Answer 1

Sean $x_n$ and $y_n$ tus secuencias.

La respuesta es sí ya que $$ 0\leq x_n\leq x_n+y_n\quad\mbox{y}\quad 0\leq y_n\leq x_n+y_n $$ y luego puedes aplicar el teorema del sandwich.

Answer 2

Si la secuencia $a_n+b_n$ converge a cero y $a_n, b_n$ son positivos, entonces $a_n$ (y por simetría $b_n$) converge a cero porque está acotado por debajo por 0 y por encima por alguna secuencia que tiende hacia cero.