¿Cómo simplificar el radical anidado$\sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}$ a mano?

Question

Estaba resolviendo un concurso de simulacros de simulacros de Mathcounts (.pdf) escrito por un usuario en el Arte de los foros de resolución de problemas. En el problema # 24, lo único que no podía hacer a mano era simplificar el radical mencionado anteriormente. Tenga en cuenta que el concurso debe incluir temas de matemáticas accesibles para un estudiante de secundaria de Mathcounts de alto rendimiento.

¿Cómo simplificar$$\sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}$ $

Answer 1

Uno puede escribir $$ \begin{align} \sqrt{1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}}&=\dfrac1{\sqrt{2}}\sqrt{2 - \sqrt{3}}\\\\ &=\dfrac{\sqrt{2}}2\sqrt{2 - \sqrt{3}}\\\\ &=\dfrac12\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}\\\\ &=\dfrac12\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}\\\\ &=\dfrac{\sqrt{3}-1}2. \end {align} $$

Answer 2

PS

Answer 3

Propuso otra forma de recogida.

También puede usar las fórmulas$$\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2}}$ $ Luego$$\sqrt{1-\frac{\sqrt3}{2}}=\frac12\sqrt{4-\sqrt{12}}=\frac12 \cdot\left(\sqrt{\frac{4 + \sqrt{4^2-12}}{2}}-\sqrt{\frac{4 - \sqrt{4^2-12}}{2}} \right)=$ $$$=\frac12 \left(\sqrt{\frac{4 + \sqrt{4}}{2}}-\sqrt{\frac{4 - \sqrt{4}}{2}} \right)=\frac12 \left(\sqrt{\frac{6}{2}}-\sqrt{\frac{2}{2}} \right)=\frac 12(\sqrt3-1)$ $

Answer 4

Uno debe tener en cuenta el cuadrado perfecto:$(\sqrt 3-1)^2=4-2\sqrt3$, por lo tanto,$$\sqrt{1-\frac{\sqrt3}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{2}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt3}{4}}=\frac{\sqrt{(\sqrt3)^2-2\cdot \sqrt 3\cdot 1+1^2}}{2}=\frac{\sqrt{(\sqrt3-1)^2}}{2}=\color{red}{\frac{\sqrt 3-1}{2}}$ $