Evaluar el cuadrado de la primera clase de Chern en la superficie K3

Question

Quiero hacerles $X$ ser un 3d de la superficie, con $Y \subset X$ una curva suave con género $g$. Desde $Y$ es una hipersuperficie, contamos con una línea de paquete de $\mathcal{O}(Y)$$X$. Tengo curiosidad de cómo probar la siguiente declaración,

$\int_{X} c_{1}^{2}(\mathcal{O}(Y)) = 2g-2$

Me siento como yo lo más probable es que necesite utilizar algunos secuencia exacta, tal vez como,

$0 \to \mathcal{O}(-Y) \to \mathcal{O}_{X} \to \mathcal{O}_{Y} \to 0$,

pero no estoy totalmente seguro de cómo. También, quizás hay otras maneras de llegar a esta fórmula, pero estoy esperando un lugar argumentación directa específicamente relativas a esta integral. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Tenemos$c_1(\mathcal O(D))=D$ para cualquier divisor$D$, como puede encontrar en el breve apéndice sobre clases de chern en Hartshorne.

Así que básicamente estás buscando el número de auto-intersección$\int_X C.C$ de un divisor en una superficie. Esta es la fórmula adjunta (Hartshorne, Proposición V.1.5), que establece$2g-2=\int_X C.(C+K)$. En su caso,$K=0$, así que hemos terminado.

Answer 2

Básicamente tienes razón. Lo que está buscando es la fórmula adjunta , que establece que (para una hipersufracia suave$Y \subset X$ $$ K_Y = K_X | _Y \ otimes N_ {Y / X} $$ donde$N_{Y/X}$ es lo normal paquete de$Y$ en$X$; en el caso de un paquete de líneas, tenemos ese$N_{Y/X} \cong \mathscr{O}_X(Y)|_Y$. Dado que el paquete canónico de una superficie K3 es trivial, tenemos ese$K_Y = \mathscr{O}_X(Y)|_Y$

En particular, dado que $$ \ int_X c_1 \ mathscr {O} _X (Y) ^ 2 = \ deg \ mathscr {O} _X (Y) | _Y $$ por la dualidad de Poincaré, la reclamación es la siguiente.