¿Qué es una gavilla finamente generada?

Question

Hago ejercicio pidiendo mostrar en el espacio noetheriano$X$, cualquier subsuelo$\mathscr{R} \subseteq \Bbb{Z}_U$ se genera de forma definitiva. $\Bbb{Z}_U$ es la gavilla$i_{!}(\Bbb{Z}|_U)$ para$U \subseteq X$ abierto. ¿Cuál es el significado de una gavilla finamente generada?

Agregado: Hartshorne ni siquiera define la gavilla generada finamente. ¿Qué significa esto?

Answer 1

La declaración del ejercicio, la comilla es incorrecta : $\mathbb Z_U$ sí no es finitely generados, excepto en casos triviales.

Por ejemplo, si $X=\mathbb A^1_k$ $U=X\setminus \{O\}$ ($O$ el origen), el tallo en $O$ $\mathbb Z_U$ cero: $\mathbb (Z_U)_O=0$.
Si $\mathbb Z_U$ fueron finitely generado sus tallos sería cero en un barrio de $O$.
Pero en realidad todos los tallos $ (\mathbb Z_U)_x=\mathbb Z$ $O \neq x\in X$ y por lo tanto es falso que $\mathbb Z_U$ es un finitely generado gavilla de abelian grupos.

Editar
Tras el amistoso de la discusión en los comentarios, permítanme añadir que la última línea de EGA I página 45 establece que el apoyo de un finitely generado gavilla está cerrado. Desde el apoyo de $\mathbb Z_U$$U$, esto confirma que la $\mathbb Z_U$ sólo puede ser finitely generado en el raro caso de que $U$ es a la vez abierto y cerrado.

Answer 2

Basado en Hartshorne los consejos, yo creo que lo que quiso decir es (una variante) la categoría de la teoría de la noción de "finitely presentable":

Un finitely presentable objeto en una categoría $\mathcal{C}$ es un objeto $A$ de manera tal que el functor $\mathrm{Hom}(A, -) : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ conserva dirigido/filtrado colimits.

Tomemos $\mathcal{C}$ a la categoría de (abelian) poleas en un noetherian espacio topológico $X$. A continuación, $\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}_U, -)$ es isomorfo (como un functor) a $\Gamma (U, -)$. Pero la propiedad de ser noetherian es hereditario, por lo que podemos utilizar [Capítulo II, el Ejercicio 1.11] a deducir que $\Gamma (U, -)$ conserva dirigida colimits. Por lo tanto $\mathbb{Z}_U$ es de hecho finitely presentable.

Dicho esto, Hartshorne habla de subsheaves de $\mathbb{Z}_U$. No es del todo claro para mí que estos son finitely presentable. Tampoco está claro para mí que una gavilla con la extensión de la propiedad con respecto a todos los subsheaves $\mathscr{R} \subseteq \mathbb{Z}_U$ y todos los subconjuntos de a $U \subseteq X$ es necesariamente inyectiva. Sin duda, lo que si es verdad es esta: si $\mathcal{I}$ es una colección de monomorphisms de tal forma que cada monomorphism en $\mathcal{C}$ puede ser obtenida como retractarse de algunas $\mathcal{I}$de células complejas (= un transfinito composición de pushouts de $\mathcal{I}$), en un inyectiva objeto en $\mathcal{C}$ es la misma cosa como un objeto con la extensión de la propiedad con respecto a la $\mathcal{I}$; y si $\mathcal{I}$ consta de morfismos cuyo dominio y codominio son finitely presentable, entonces la clase de $\mathcal{I}$-inyectiva objetos es cerrado bajo dirigida/filtrado colimits.

Answer 3

Si$(X,\mathcal{O}_X)$ es un espacio anillado, entonces hay una noción conocida de$\mathcal{O}_X$ - módulos de tipo finito (Proyecto de pilas, Etiqueta 01B4 ). Cualquier espacio topológico$X$ puede estar dotado de la gavilla constante$\mathcal{O}_X:=\mathbb{Z}_X$ para que$\mathcal{O}_X$ - los módulos coincidan con las gavillas de los grupos abelianos en$X$.