Presentación de grupo

Question

Sea$a, b \in \mathbb{N},\ a, b\neq 0$ tal que$(a,b)=1.$ Supongamos que$G$ es un grupo con presentación$$ G=\langle x, y \mid x^{-1}y^{-1}xy^{a+1}=1,\ y^{-1}x^{-1}yx^{b+1}=1\rangle. $ $ Demuestre que$G= \langle x \rangle \times \langle y \rangle \simeq C_b\times C_a$.

Answer 1

Tienes$x^{-1}y^{-1}xy = y^{-a} = x^b$, por lo que este elemento centraliza tanto$x$ como$y$ y, por lo tanto, está en el centro del grupo. Ahora$y^{-1}xy = x^{1+b}$ implica$y^{-1}x^by = x^{b(1+b)}$ así que$x^{b^2}=1$ y similarmente,$y^{a^2}=1$. Ahora use$(a,b)=1$ para deducir$x^b=y^{-a}=1$.